[論文レビュー] Quantum Cohomology under Birational Maps and Transitions

Yuan‐Pin Lee, Hui-Wen Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、量子レフシェッツおよび量子レイラ・ハーシュの定理を用いて、滑らかなフロップ、フリップ、および吹き上げを含む、双有理写像の下での量子コホノロジーのファンクター理論を確立する。通常のフロップにおける量子コホノロジーの不変性を証明し、Weil除集合に沿った小解消を伴うCalabi–Yau 3-foldにおけるコンパクトトランジションの枠組みを構築し、非完備交差の中心を持つGromov–Witten不変量の吹き上げ公式を提供する。

ABSTRACT

This is an expanded version of the third author's lecture in String-Math 2015 at Sanya. It summarizes some of our works in quantum cohomology. After reviewing the quantum Lefschetz and quantum Leray--Hirsch, we discuss their applications to the functoriality properties under special smooth flops, flips and blow-ups. Finally, for conifold transitions of Calabi--Yau 3-folds, formulations for small resolutions (blow-ups along Weil divisors) are sketched.

研究の動機と目的

• K-同値でない双有理写像、特にフリップや吹き上げの下での量子コホノロジーのファンクター理論の拡張。
• Weil除集合に沿った小解消を伴うコンパクトトランジションにおける量子コホノロジーの定式化。
• 特にCalabi–Yau 3-foldにおけるWeil除集合に対して、非完備交差の中心を持つGromov–Witten不変量の吹き上げ公式の開発。
• 非分裂バンドルに対して、ダブルビン接続およびバーゲル因子分解を用いて、量子レイラ・ハーシュおよびレフシェッツの定理の一般化。
• Weil除集合および線形系を通じて、行列式的トランジションにおけるGW不変量の内在的構造の解釈。

提案手法

• ダブルビン接続およびバーゲル因子分解を用いて、量子レフシェッツおよび量子レイラ・ハーシュの定理を一般化する。
• 関係式 $ I^Y = J^S \frac{\prod (L_i + h)}{(h)^{n+1}} $ を用いて、半フェノまたは部分Calabi–Yau多様体内の完備交差に量子レフシェッツ定理を適用する。
• 一般化された鏡像変換を用いた量子レイラ・ハーシュ定理を用いて、射影バンドル写像を扱い、量子コホノロジーの分解を導出する。
• 非分裂の場合の量子レイラ・ハーシュを定式化するため、モーリー錐の許容的リフトおよびナイーブな量子化基底の概念を導入する。
• 正規化の周りへの変形およびスペクトル系列を用いて、グローバル問題を局所モデルに還元する。
• 関係行列 $ B $ から生じるホモロジー的サイクル $ W_j $ からWeil除集合を構成し、コンパクトトランジションに対して $ Y = \mathrm{Bl}_W \bar{X} $ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変換がK-同値でない場合、滑らかなフロップの下で量子コホノロジーはどのように振る舞うか？
• RQ2 K-同値でない設定下で、完備交差の中心に沿った吹き上げの下で、量子コホノロジーはファンクター的か？
• RQ3 小解消がWeil除集合に沿った吹き上げであるコンパクトトランジションにおける、量子コホノロジーの構造は何か？
• RQ4 小解消 $ Y $ のGromov–Witten不変量は、特異な $ \bar{X} $ とWeil除集合のデータを用いて、どのように $ X $ の不変量で表されるか？
• RQ5 Weil除集合の吹き上げにおける量子レフシェッツ公式において、外部的線形バンドルデータに代わる内在的幾何的データは何か？

主な発見

• 通常のフロップにおいて、量子コホノロジーは $ QH(X) \cong \langle \tilde{T}_1, \ldots, \tilde{T}_{\dim H(X')} \rangle \times \mathbb{C}^{r-r'} $ という環同型写像により不変であり、ここで第一因子は $ QH(X') $ に同型である。
• 完備交差の中心に沿った滑らかな吹き上げにおいて、量子コホノロジーはターゲットの量子コホノロジーと自明な因子の積に分解され、古典的な吹き上げ公式を一般化する。
• コンパクトトランジションにおいて、小解消 $ \psi: Y \to \bar{X} $ は、関係行列 $ B $ から生じるホモロジー的サイクル $ W_j $ から構成されたWeil除集合 $ W $ に沿った吹き上げ $ Y = \mathrm{Bl}_W \bar{X} $ として実現される。
• Y のGromov–Witten不変量は、$ I^{Y/X} = \frac{\prod_{i=0}^n (L_i + h)}{(h)^{n+1} \sum_{i=0}^n L_i} $ という因子を介して $ X $ の不変量と関連づけられ、これはWeil除集合の内在的幾何を符号化する。
• 非分裂バンドルに対して、バーゲル因子分解および一般化された鏡像変換を用いて、量子レフシェッツ公式が一般化され、非分裂射影バンドルの取り扱いが可能になる。
• Weil除集合 $ W $ に関連する線形系の分解を通じて、$ I^{Y/X} $ の内在的解釈が達成され、外部的線形バンドルデータが内在的幾何的データに置き換えられる。