[論文レビュー] Quantum Coin Flipping, Qubit Measurement and Generalized Fibonacci Numbers

Oktay K. Pashaev|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、繰り返し連続する結果を伴う量子コインフラッピングを、量子ビット状態の測定問題として定式化し、フィボナッチ数列、トリボナッチ数列、N-ボナッチ数列が有効な状態の数とその確率を支配することを示している。一般化フィボナッチ多項式を用いて正確な確率式を導出し、母関数と黄金比の極限を確立するとともに、ヒルベルト空間の木構造における射影演算子を用いた、クイッド系への一般化を実現した。

ABSTRACT

The problem of Hadamard quantum coin measurement in $n$ trials, with arbitrary number of repeated consecutive last states is formulated in terms of Fibonacci sequences for duplicated states, Tribonacci numbers for triplicated states and $N$-Bonacci numbers for arbitrary $N$-plicated states. The probability formulas for arbitrary position of repeated states are derived in terms of Lucas and Fibonacci numbers. For generic qubit coin, the formulas are expressed by Fibonacci and more general, $N$-Bonacci polynomials in qubit probabilities. The generating function for probabilities, the Golden Ratio limit of these probabilities and Shannon entropy for corresponding states are determined. By generalized Born rule and universality of $n$-qubit measurement gate, we formulate problem in terms of generic $n$-qubit states and construct projection operators in Hilbert space, constrained on the Fibonacci tree of the states. The results are generalized to qutrit and qudit coins, described by generalized Fibonacci-$N$-Bonacci sequences.

研究の動機と目的

• . n回試行における繰り返し連続する結果を、フィボナッチ型数列を用いてモデル化する。
• . ルーカス数および一般化フィボナッチ数を用いて、重複、三重化、N重化状態の正確な確率式を導出する。
• . nキュービットおよびクイッド系へのボーンの法則および測定ゲートの普遍性を一般化する。
• . フィボナッチ数列およびN-ボナッチ数列に従う制約を満たすヒルベルト空間の木構造における射影演算子を構築する。
• . 一般化N-ボナッチ多項式および再帰関係を用いて、キュートリットおよびクイッド系へのフレームワークの一般化を実施する。

提案手法

• . アーモンダゲートを用いて、量子コインとして最大にランダムな量子ビット状態を定義する。
• . 重複、三重化、N重化の連続結果を、フィボナッチ、トリボナッチ、N-ボナッチの再帰的関係でモデル化する。
• . 一般化フィボナッチ数およびルーカス数、および量子ビット確率における多項式を用いて、確率式を導出する。
• . 一般化ボーンの法則および普遍的nキュービット測定ゲートを適用し、ヒルベルト空間の木構造における射影演算子を構築する。
• . 確率の母関数を確立し、その黄金比の極限を分析する。
• . d次元の一般化N-ボナッチ数列および重み付き確率を用いた再帰的確率関係を用いて、クイッド系への一般化を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . n回試行における重複状態の有効な状態配置の数は、どのようにフィボナッチ数列によって記述されるか？
• RQ2 . n回試行におけるN重化状態（例：重複、三重化）の正確な確率式は何か？
• RQ3 . 確率分布における母関数と黄金比は、どのように繰り返し量子状態の確率分布に現れるか？
• RQ4 . 一般化ボーンの法則および普遍的nキュービット測定ゲートは、どのようにフィボナッチ木構造におけるヒルベルト空間射影演算子を構築するか？
• RQ5 . 一般化N-ボナッチ数列を用いて、d > 2のレベルを持つクイッド系に結果をどのように一般化できるか？

主な発見

• . n回試行における重複状態では、有効な状態配置の数はフィボナッチ数で与えられ、確率は Pn = F_{n-1} / 2^n である。ここで F_n はフィボナッチ数列を表す。
• . 三重化状態では、配置数はトリボナッチ数列に従い、確率は Pn = T_{n-1} / 3^n である。ここで T_n は一般化トリボナッチ数列を表す。
• . n回試行におけるN重化状態では、配置数はN-ボナッチ数列に従い、確率は dレベルのクイッドに対して Pn = N_{n-1} / d^n である。
• . 重複状態の確率母関数は、nが非常に大きくなる極限で黄金比に収束し、n → ∞ のとき Pn → 1/φ^n となる。
• . 一般の量子ビットコインでは、確率は量子ビット振幅におけるフィボナッチ多項式として表され、Pn = F_{n-1}(p) となる。ここで p = |c1|² である。
• . dレベルのクイッド系では、N重化配置数は一般化N-ボナッチ再帰関係 D_n = (d-1)(D_{n-1} + D_{n-2} + ... + D_{n-N}) に従い、初期条件 D_0 = 0, D_1 = 1 を満たす。