[論文レビュー] Quantum compiler for classical dynamics

Dimitrios Giannakis, A. Ourmazd+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、量子特徴写像を介して古典的状態と観測量を再生核ヒルベルト空間に埋め込むことで、量子コンピュータ上で測度を保存し、エルゴディックな古典的力学系をシミュレートする量子コンパイラを提案する。このフレームワークにより、コープマン作用素によるユニタリな時間発展が可能となり、O(n)ゲートとO(n²)量子フーリエ変換段階を有するnキュービット量子回路への分解によって指数的高速化を達成する。Qiskitを用いた検証により、周期的および準周期的系において有効であることが示された。

ABSTRACT

We develop a framework for simulating measure-preserving, ergodic dynamical systems on a quantum computer. Our approach provides a new operator-theoretic representation of classical dynamics by combining ergodic theory with quantum information science. The resulting \emph{quantum compiler} enables efficient simulation of spaces of classical observables with exponentially large dimension using a quadratic number of quantum gates. The compiler is based on a quantum feature map that we introduce for representing classical states by density operators on a reproducing kernel Hilbert space, $\mathcal H$. Furthermore, an embedding of classical observables into self-adjoint operators on $\mathcal H$ is established, such that quantum mechanical expectation values are consistent with pointwise function evaluation. In this scheme, quantum states and observables evolve unitarily under the lifted action of the Koopman evolution operators of the classical system. Moreover, by virtue of the reproducing property of $\mathcal H$, the quantum system is pointwise-consistent with the underlying classical dynamics. To achieve an exponential quantum computational advantage, we project the state of the quantum system onto a finite-rank density operator on a $2^n$-dimensional tensor product Hilbert space associated with $n$ qubits. By employing discrete Fourier-Walsh transforms of spectral functions, the evolution operator of the finite-dimensional quantum system is factorized into tensor product form, enabling implementation through an $n$-channel quantum circuit with an $O(n)$ gates and no interchannel communication. Furthermore, the circuit features a quantum Fourier transform stage with $O(n^2)$ gates, which generates predictions by measurement in the standard computational basis. We implement the framework in Qiskit, and demonstrate its consistency for prototypical periodic and quasiperiodic systems.

研究の動機と目的

• 指数的高速化を達成する量子フレームワークを開発し、古典的力学系をシミュレートすること。
• 新規な作用素論的表現を通じて、エルゴディック理論と量子情報科学を統合すること。
• 有限ランクの量子系を用いて、高次元空間における古典的観測量の一貫性のある量子シミュレーションを可能にすること。
• テンソル積の分解と離散フーリエ＝ウォルシュ変換を用いた効率的量子回路実装を実現すること。
• 再生核の性質に起因する点ごとの一貫性を保証し、量子予測と古典的力学との一致を確保すること。

提案手法

• 量子特徴写像を用いて、古典的状態を再生核ヒルベルト空間（H）内の密度作用素として表現する。
• H上の自己随伴作用素に古典的観測量を埋め込み、量子期待値が点ごとの関数評価と一致するようにする。
• 古典的系のコープマン時間発展演算子を、H上でユニタリに作用する形に持ち上げる。
• nキュービットが張る2^n次元テンソル積ヒルベルト空間への量子状態の射影により、有限次元シミュレーションを可能にする。
• スペクトル関数の離散フーリエ＝ウォルシュ変換を用いて、有限次元時間発展演算子をテンソル積形式に分解する。
• O(n)ゲートとチャネル間通信なしのnチャネルアーキテクチャとして量子回路を実装し、測定に基づく予測を可能にするO(n²)ゲートを有する量子フーリエ変換段階を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度を保存し、エルゴディックな力学的性質を示す古典的力学系は、一貫性のある量子表現を用いて、量子コンピュータ上で効率的にシミュレート可能か？
• RQ2 古典的観測量をどのように量子作用素に埋め込むことができるか。その際、量子期待値が古典的点ごとの評価を再現するようにするには？
• RQ3 再生核ヒルベルト空間におけるコープマン作用素の構造は何か。また、量子回路実装のための離散化はどのように行えるか？
• RQ4 時間発展演算子は、最小限のエンタングルメントと通信で、低深さの量子回路に分解可能か？
• RQ5 量子シミュレーションは、元の古典的系の動的整合性をどの程度保持するか？

主な発見

• 量子コンパイラは、nキュービットに対してO(n²)ゲートで十分であり、指数的に大きな空間における古典的観測量のシミュレーションを可能にする。
• ヒルベルト空間Hの再生核性に起因し、量子予測と古典的力学との点ごとの整合性が保証される。
• 離散フーリエ＝ウォルシュ変換を用いて時間発展演算子がテンソル積形式に分解され、O(n)ゲートとチャネル間通信なしのnチャネル量子回路が実現可能である。
• O(n²)ゲートを有する量子フーリエ変換段階により、計算基底での測定に基づく予測が可能となる。
• Qiskitを用いた実装は、周期的および準周期的系において一貫性を示し、理論的枠組みの妥当性を検証した。
• 有限次元量子系におけるコープマン作用素と特徴写像の構造を活用することで、指数的量子計算的優位性が達成された。