[論文レビュー] Quantum complexity and topological phases of matter

Paweł Caputa, Sinong Liu|arXiv (Cornell University)|May 11, 2022

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子多体系におけるトポロジカル相のための新規プローブとして、スプレッド複雑度を導入する。Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型において、解析的にスプレッド複雑度がトポロジカル相で定数に漸近することを示している。この手法はKrylov基底を用いて複雑度を計算し、量子クエンチプロトコル下での動的挙動に顕著な差を示すことで、トポロジカル相と自明相を区別する。

ABSTRACT

In this work, we find that the complexity of quantum many-body states, defined as a spread in the Krylov basis, may serve as a new probe that distinguishes topological phases of matter. We illustrate this analytically in one of the representative examples, the Su-Schrieffer-Heeger model, finding that spread complexity becomes constant in the topological phase. Moreover, in the same setup, we analyze exactly solvable quench protocols where the evolution of the spread complexity shows distinct dynamical features depending on the topological vs non-topological phase of the initial state as well as the quench Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 量子複雑度、特にスプレッド複雑度が、物質のトポロジカル相を普遍的なプローブとして果たせるかどうかを調査すること。
• 一次元SSH模型におけるスプレッド複雑度の挙動を分析すること。これは、トポロジカル相と自明相を有する代表的系である。
• スプレッド複雑度が、平衡状態の基底状態および非平衡クエンチダイナミクスにおけるトポロジカル秩序に対してどれほど感度を示すかをテストすること。
• エンタングルメントエントロピーおよびトポロジカル不変量といった従来のプローブと比較して、スプレッド複雑度の性能を評価すること。
• 正確に解けるモデルにおける解析的計算を通じて、スプレッド複雑度と背後にあるトポロジカル秩序との関連を確立すること。

提案手法

• Krylov基底を用いて、基底選択に関する重み付き和の最小化としてスプレッド複雑度を定義する。この最小化は、Lanczosアルゴリズムによって構築されたKrylov基底を用いて実行される。
• ハミルトニアンを三重対角形式に対角化するKrylov基底を用いて、SSH模型の基底状態のスプレッド複雑度を計算する。
• Lanczos係数 aₙ および bₙ をパrameter化するため、戻り振幅（自己相関関数）S(s) = ⟨Ψ(s)|Ψ₀⟩ を用いる。
• 初期状態で準備された系が、異なるハミルトニアンの下で時間発展する量子クエンチプロトコルにおけるスプレッド複雑度の時間発展を分析する。
• 局所的エンタングルメント構造の代理として機能する演算子 𝔓ⱼ = i(c†_{Aj}c_{Bj} + h.c.) の期待値とスプレッド複雑度を関連付ける。
• トポロジカル相と自明相の両方における縮約密度行列 ρⱼ を比較することで、スプレッド複雑度がトポロジカル相における非自明なエンタングルメントと相関していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプレッド複雑度は、SSH模型におけるトポロジカル相と自明相を区別できるか？
• RQ2 解析的計算で観察されたように、基底状態のスプレッド複雑度はトポロジカル相で定数に保たれるか？
• RQ3 初期状態またはクエンチハミルトニアンがトポロジカル相または自明相にある場合に、スプレッド複雑度の時間発展はどのように異なるか？
• RQ4 スプレッド複雑度には、系内のエンタングルメントや局所的相関に関する物理的解釈が可能か？
• RQ5 スプレッド複雑度は、Nielsenの複雑度におけるゲートやコスト関数の選択に依存しない、量子多体系におけるトポロジカル秩序の普遍的プローブとして機能できるか？

主な発見

• SSH模型の基底状態におけるスプレッド複雑度は、トポロジカル相において定数に漸近し、非トポロジカル相とは明確に区別されることを示している。
• 非トポロジカル相（t₁=1, t₂=0）では、縮約密度行列 ρⱼ^{NP} は純粋状態であり、自明なエンタングルメントと特定の 𝔓ⱼ の期待値を示す。
• トポロジカル相（t₁=0, t₂=−1）では、縮約密度行列 ρⱼ^{TP} に混合状態のセクターが存在し、非自明なエンタングルメントを含む。この場合、𝔓ⱼ は情報の一部しか捉えておらず、トポロジカル秩序の非局所的性質を反映している。
• スプレッド複雑度密度は、大規模系（L → ∞）における全サイト j における ⟨Ω|𝔓ⱼ|Ω⟩ の和に比例し、グローバルな複雑度測度と関連づけられる。
• 量子クエンチプロトコル下では、初期状態およびクエンチハミルトニアンのトポロジカル性質に応じて、スプレッド複雑度の進化に顕著なダイナミクス的特徴が現れる。
• 結果から、スプレッド複雑度は、整数性や非カオス性を持つ系であっても、頑健で計算可能かつ物理的に意味のあるトポロジカル秩序のプローブである可能性が示唆される。