[論文レビュー] Quantum computation algorithm for many-body studies

Eirik Ovrum, M. Hjorth‐Jensen|arXiv (Cornell University)|May 14, 2007

Quantum many-body systems参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、2キュービットゲートを用いて一般のフェルミオン系多体ハミルトニアンを量子コンピュータ上でシミュレートするための量子アルゴリズムを提示する。この手法は、系のサイズに比例してゲート操作が線形に増加することを示し、ハーバード模型およびペアリング模型の固有値と固有状態を高精度で正確に計算することで、手法の妥当性を検証している。

ABSTRACT

We show in detail how the Jordan-Wigner transformation can be used to simulate any fermionic many-body Hamiltonian on a quantum computer. We develop an algorithm based on appropriate qubit gates that takes a general fermionic Hamiltonian, written as products of a given number of creation and annihilation operators, as input. To demonstrate the applicability of the algorithm, we calculate eigenvalues and eigenvectors of two model Hamiltonians, the well-known Hubbard model and a generalized pairing Hamiltonian. Extensions to other systems are discussed.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータ上で任意のフェルミオン系多体ハミルトニアンをスケーラブルにシミュレートするための量子アルゴリズムの開発。
• フェルミオン系のシミュレーションにおける古典的指数的計算複雑性を克服し、量子計算の線形リソーススケーリングの利点を活用すること。
• ハーバード模型およびペアリング模型という2つの代表的なモデルハミルトニアンの正確な固有値計算を用いて、アルゴリズムの実現可能性を示すこと。
• ジョルダン＝ウィグナー変換を用いて一般のm体フェルミオン相互作用を、同等のキュービット操作に体系的に変換するフレームワークの提供。

提案手法

• ジョルダン＝ウィグナー変換は、フェルミオンの生成・消滅演算子をキュービット上のスピン1/2パウリ演算子に写像し、フェルミオン系ハミルトニアンをキュービットヒルベルト空間に表現可能にする。
• アルゴリズムは、2体フェルミオン系ハミルトニアンの各項を、2キュービット量子ゲートのシーケンスに分解し、多項式時間のシミュレーション複雑性を保証する。
• 位相推定アルゴリズムを用いて、ジョルダン＝ウィグナー変換でマップされたハミルトニアンから生成される時間発展演算子から固有値と固有状態を抽出する。
• 特定のm体相互作用項をシミュレートするために必要な2キュービットゲートの数が、単粒子準位の数N（キュービット数）に対して線形に増加することを保証する。
• 先行するキュービットに作用するパウリZ行列を含む非局所的ストリング演算子を通じて、フェルミオンの反交換関係が保存される。
• 数値シミュレーションを用いてモデル系にアルゴリズムを適用し、さまざまな系サイズにおけるゲート数を報告することで、スケーラビリティを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョルダン＝ウィグナー変換を、一般のフェルミオン系多体ハミルトニアンを、量子コンピュータ上でシミュレート可能な形に体系的に写像することができるか？
• RQ2 与えられたフェルミオン系ハミルトニアン項に対して、必要な2キュービットゲートの数はキュービット数とどのように関係するか？
• RQ3 このアルゴリズムは、ハーバード模型やペアリング模型といった複雑なフェルミオン系モデルの固有値と固有状態を、量子シミュレーションにより正確に計算できるか？
• RQ4 フェルミオン系における高次相互作用（m体）をシミュレートする際の計算コスト（ゲート操作数）はどの程度か？
• RQ5 特にゲート数とシミュレーションの忠実度の観点から、系サイズの増大に伴うアルゴリズムの性能はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• ペアリング模型の時間発展演算子をシミュレートするために必要な2キュービットゲートの数は、2〜12キュービットの間でそれぞれ9, 119, 333, 651, 1073, 1598と増加し、系サイズに比例する線形スケーリングを示している。
• ハーバード模型では、2〜12キュービットの間でゲート数が9から219に増加し、同様の線形スケーリングの挙動を確認した。
• ペアリング模型およびハーバード模型の両者において、正確な対角化結果と優れた一致を示し、アルゴリズムの正確性が検証された。
• 各m体フェルミオン相互作用項をキュービット操作に変換するには、キュービット数Nに対して線形に増加する2キュービットゲートが必要である。
• 2体ハミルトニアンの効率的シミュレーションが可能であり、多体物理学で最も一般的な項について多項式ゲート複雑性を達成している。
• このフレームワークは一般性があり、高次相互作用や他のフェルミオン系（高次元単粒子簡約性を持つ核殻模型計算など）へも拡張可能である。