[論文レビュー] Quantum Computation by Adiabatic Evolution

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+2 more|ArXiv.org|Jan 28, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 591

ひとこと要約

本稿では、解を符号化する最終ハミルトニアンへと単純な初期ハミルトニアンから遷移する断続的量子遷移を用いた充足可能性問題を解くための量子アルゴリズムを提案する。主な貢献は、一般にエネルギーギャップの推定が困難であるにもかかわらず、特定の対称的2-SATインスタンスにおいて多項式時間で動作することの証明である。

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving instances of the satisfiability problem, based on adiabatic evolution. The evolution of the quantum state is governed by a time-dependent Hamiltonian that interpolates between an initial Hamiltonian, whose ground state is easy to construct, and a final Hamiltonian, whose ground state encodes the satisfying assignment. To ensure that the system evolves to the desired final ground state, the evolution time must be big enough. The time required depends on the minimum energy difference between the two lowest states of the interpolating Hamiltonian. We are unable to estimate this gap in general. We give some special symmetric cases of the satisfiability problem where the symmetry allows us to estimate the gap and we show that, in these cases, our algorithm runs in polynomial time.

研究の動機と目的

• 充足可能性問題のようなNP完全問題を断続的量子遷移を用いて解く量子アルゴリズムの開発を目的とする。
• 断続的量子計算が、難しい組合せ問題を多項式時間で解くことができるかどうかを分析することを目的とする。
• 断続的遷移時間がある多項式に保たれる構造的条件を同定することを目的とする。
• 断続的量子計算と標準的量子回路モデルの間の橋渡しをすることを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、既知の基底状態を持つ初期ハミルトニアンと、満たす割り当てを符号化する基底状態を持つ最終ハミルトニアンの間を滑らかに接続する時間に依存するハミルトニアン H(t) を用いる。
• 系は H(t) に従ってシュレーディンガー方程式に従い、遷移が十分に遅ければ断続的定理に従い、瞬間的な基底状態にとどまる。
• ハミルトニアンは、各節 Ca にのみ作用する節固有の項 H_Ca(t) の和として構成される。
• 遷移時間 T は、T ≫ E/g_min² を満たす必要がある。ここで g_min は基底状態と第一励起状態の間の最小エネルギーギャップである。
• 断続的アルゴリズムは、時間発展演算子を少数のキュービットに作用するユニタリ操作の積として近似するためのTrotter-Suzuki公式を用いて、標準的量子回路モデルにマッピングされる。
• 対称的2-SAT問題では、エネルギーギャップ g_min は n^p に比例し、p ≈ 0.7 となる。このため、多項式時間の遷移時間 T ∼ n^(2−2p) が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断続的量子遷移は、3-SATのようなNP完全問題を多項式時間で解くことができるか？
• RQ2 充足可能性インスタンスのどのような構造的性質が、断続的アルゴリズムの多項式時間での実行を可能にするか？
• RQ3 断続的量子計算における最小エネルギーギャップ g_min が、必要な遷移時間 T にどのように影響を与えるか？
• RQ4 断続的量子アルゴリズムは、標準的量子回路モデルを用いて効率的にシミュレート可能か？
• RQ5 断続的ギャップと、特定のクラスの2-SAT問題を解く複雑さの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 規則的な構造を持つ3つの対称的2-SAT問題において、断続的アルゴリズムは多項式時間で動作し、遷移時間 T が n^(2−2p) に比例する。ここで p ≈ 0.7 である。
• これらの問題において、最小エネルギーギャップ g_min は n^p に比例し、p ≃ 0.7 となる。このため、多項式時間での遷移が可能になる。
• 相対化された充足可能性問題として知られるグローバー問題では、アルゴリズムは指数時間が必要であり、既知の下界と整合的である。
• Trotter-Suzuki公式を用いることで、断続的アルゴリズムは標準的量子回路モデルに効率的にマッピング可能であり、必要なユニタリ操作の数は T² と n の多項式に比例する。
• T が n に対して多項式である場合、対応する回路モデル版は、多項式回数の少数キュービットユニタリ操作のみを必要とする。
• 解析により、断続的アプローチは特定の構造的2-SATインスタンスを効率的に解くことができ、これらの特定のケースにおいて古典的手法に対する量子的高速化を実現できることが示された。