[論文レビュー] Quantum Computation, Complexity, and Many-Body Physics

Rolando D. Somma|ArXiv.org|Dec 22, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文では、一般化された量子もつれを観測者に依存する概念として導入することで、量子計算、計算複雑性理論、多粒子物理学を結びつけるフレームワークを確立した。一般化されたもつれが存在しない場合には量子優位性が失われるため、フェルミ粒子、任意粒子、ボソン系の量子シミュレーションは、代数的マッピングを用いることで量子コンピュータ上で効率的に実装可能である。主要な結果として、多項式的に有界な観測量に対して相関関数の効率的古典的シミュレーションが可能であり、Lie代数的純度と平均場ハミルトニアンを用いてリプキン＝メシュコフ＝グリック（Lipkin-Meshkov-Glick）モデルおよびXYモデルへの応用がなされた。

ABSTRACT

Recently developed quantum algorithms suggest that quantum computers can solve certain problems and perform certain tasks more efficiently than conventional computers. Among other reasons, this is due to the possibility of creating non-classical correlations, or quantum entanglement, which is a phenomena hard or impossible to reproduce by classical-information methods. In this thesis I first investigate the simulation of quantum systems on a quantum computer constructed of two-level quantum elements or qubits. For this purpose, I present algebra mappings that allow one to obtain physical properties and compute correlation functions of fermionic, anyonic, and bosonic systems with such a computer. The results obtained show that the complexity of preparing a quantum state which contains the desired information for the computation is crucial. Second, I present a wide class of quantum computations, which could involve entangled states, that can be simulated with the same efficiency on both types of computers. The notion of generalized quantum entanglement then naturally emerges. This generalization of entanglement is based on the idea that entanglement is an observer-dependent concept, that is, relative to a set of preferred observables.

研究の動機と目的

• 量子多体系のシミュレーションにおける量子コンピュータの能力と限界を理解すること。
• 量子コンピュータが古典的コンピュータに対して指数的高速化を達成する条件を特定すること。
• 利用可能な観測量に相対的な一般化もつれの概念を定義し、量子優位性と古典的シミュラビリティの違いを明確にすること。
• 量子情報理論的ツールを用いて多粒子物理学における量子相転移および厳密に解けるモデルを研究すること。
• 液体状態NMRを用いた量子シミュレーションの実現可能性を示し、理論的マッピングを実験的に検証すること。

提案手法

• フェルミ粒子、任意粒子、ボソン系をqubitベースの量子回路に代数的マッピングで効率的に符号化し、量子シミュレーションを実現する。
• 観測量の集合に対して一般化もつれを定義し、量子資源が真に非古典的であるかどうかを評価する。
• 系のサイズと観測量に依存する相関関数係数の更新に必要な計算複雑性の上限を導出し、特定の条件下で多項式スケーリングが成立することを示した。
• Lie代数的純度を用いてリプキン＝メシュコフ＝グリック（Lipkin-Meshkov-Glick）モデルおよび異方的XYモデルにおける量子相転移を特徴づけた。
• 一般化もつれから自然に導かれる平均場ハミルトニアンが、古典的コンピュータ上で正確に対角化可能であり、量子多体系物理学と古典的シミュレーションの橋渡しを可能にした。
• 液体状態NMRを用いたフェルミ粒子系の実装により、理論的予測を実験的に確認し、結果の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 qubitベースのアーキテクチャを用いた量子コンピュータ上で、多体系の量子シミュレーションがどの条件下で効率的に実行可能か。
• RQ2 利用可能な観測量に相対的な一般化もつれが、古典的計算に対する量子優位性の有無をどのように決定づけるか。
• RQ3 代数的マッピングを用いることで、相互作用を有するフェルミ粒子、任意粒子、ボソン系の相関関数を量子コンピュータ上で効率的に計算できるか。
• RQ4 リプキン＝メシュコフ＝グリック（Lipkin-Meshkov-Glick）モデルやXYモデルのようなモデルにおける量子相転移は、一般化もつれとLie代数的純度を用いてどの程度特徴づけられるか。
• RQ5 どの範囲で量子アルゴリズムが古典的コンピュータ上で効率的にシミュレート可能であり、量子優位性はいつ出現するか。

主な発見

• 観測量の数が多項式的に有界である限り、相関関数を計算するために必要な計算演算数は系のサイズに対して多項式的にスケーリングするため、これらの条件下で効率的古典的シミュレーションが可能である。
• 小さな観測量集合に対して一般化もつれ状態を生成しない量子アルゴリズムは、古典的コンピュータ上で効率的にシミュレート可能であり、このような状況では量子優位性が得られないことを示唆している。
• LMGモデルは熱力学的極限において古典的極限を示し、強度的な集団的演算子が可換になるため、基底状態が固定座標を持つ古典的スピン角運動量ベクトルとして記述可能である。
• 横磁場を受けるスピン1/2異方的XYモデルは、Lie代数的純度を用いることで量子相転移を特定・特徴づけられ、秩序状態と無秩序状態の相を区別できる。
• 一般化もつれの枠組みから自然に導かれる平均場ハミルトニアンは、古典的コンピュータ上で正確に対角化可能であり、量子多体系物理学と古典的シミュレーションの間の橋渡しを可能にする。
• 液体状態NMRを用いた実験により、フェルミ粒子系のシミュレーションが成功裏に実装され、理論的マッピングの妥当性が実験的に確認され、既存のハードウェア上での小規模量子シミュレーションの実現可能性が示された。