[論文レビュー] Quantum computation, quantum state engineering, and quantum phase transitions driven by dissipation

Frank Verstraete, Michael M. Wolf+1 more|ArXiv.org|Mar 10, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 25被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、量子回路の計算結果やフラストレーションフリーなハミルトニアンの基底状態を、局所的かつ時間に依存しない散逸過程のみを用いて符号化できる、普遍的量子計算および量子状態工学の新規フレームワークを提案する。散逸系の定常状態は、多項式時間で収束し、初期状態やノイズに対して本質的に頑健であることが示された。

ABSTRACT

We investigate the computational power of creating steady-states of quantum dissipative systems whose evolution is governed by time-independent and local couplings to a memoryless environment. We show that such a model allows for efficient universal quantum computation with the result of the computation encoded in the steady state. Due to the purely dissipative nature of the process, this way of doing quantum computation exhibits some inherent robustness and defies some of the DiVincenzo criteria for quantum computation. We show that there is a natural class of problems that can be solved with such a model - the preparation of ground states of frustration free quantum Hamiltonians. This allows for robust and efficient creation of exotic states that exhibit features like topological quantum order and the creation of PEPS and it proves the existence of novel dissipative phase transitions. In particular the latter can in principle be verified experimentally with present day technology such as with optical lattices.

研究の動機と目的

• 普遍的量子計算が、協調的ユニタリ発展を必要とせず、散逸的ダイナミクスのみを用いて達成可能であることを示すこと。
• 行列積状態（MPS）、投影もつれペア状態（PEPS）、トポロジカルコードなど、特異な量子状態が散逸を介して効率的に準備可能であることを示すこと。
• 散逸パラメータの調整のみによって駆動される散逸的量子臨界転移の存在を確立すること。これは平衡状態臨界転移と類似している。
• 散逸過程の定常状態が一意的であり、多項式時間で到達可能であることを証明し、効率性と頑健性を保証すること。
• 現在の実験的プラットフォーム（超冷却原子や捕獲イオンなど）に適応可能な、必要なリンドブラッドマスター方程式を工学的に設計する普遍的手法を提供すること。

提案手法

• 時間の符号化を補助クロックレジスタに担わせることで、量子回路を模倣する局所的リンドブラッド演算子 $ L_i $ および $ L_t $ を有するリンドブラッドマスター方程式を構築する。
• ユニタリ符号化されたクロックレジスタを用いることで、すべてのリンドブラッド演算子が厳密に局所的であることを保証し、物理的実装を可能にする。
• Liouvillianを設計し、その唯一の定常状態 $ \rho_0 = \frac{1}{T+1} \sum_t |\psi_t\rangle\langle\psi_t| \otimes |t\rangle\langle t| $ が量子回路の出力を符号化するようにする。
• スペクトルギャップ $ \Delta = \pi^2 / (2T+3)^2 $ の存在を証明し、系サイズ $ N $ に依存しない多項式時間 $ \text{poly}(T) $ で定常状態に収束することを保証する。
• アシスタント媒介散逸を実装：系をアシスタントキュービットと結合し、ハミルトニアン $ H = \Omega(\sigma_- L^\dagger + \sigma_-^\dagger L) $ を用い、2次摂動論を用いて励起状態を断熱的に除去することで、有効な散逸的写像を導出する。
• 状態工学のため、フラストレーションフリーなハミルトニアンの基底部分空間への射影を繰り返し行う局所的完全正値写像 $ \mathcal{S}_{r,1} $ の系列を適用し、トレース不等式とスペクトル解析を用いて誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 協調的ユニタリ発展を必要とせず、散逸的プロセスのみを用いて普遍的量子計算を達成可能か？
• RQ2 フラストレーションフリーなハミルトニアン（トポロジカルコードやPEPSを含む）の基底状態が、散逸を介して効率的に準備可能か？
• RQ3 散逸パラメータを調整することで、散逸系の定常状態が物理的性質に急激な変化を示し、散逸的量子臨界転移を示すか？
• RQ4 回路の深さ $ T $ に多項式的に依存する収束時間の上限が得られるか？ これにより効率性が保証されるか？
• RQ5 純粋に散逸的ダイナミクスであるがゆえに、定常状態が一意的であり、初期状態や摂動に対して頑健であるか？

主な発見

• 提案された散逸的量子計算（DQC）モデルは、協調的ユニタリ発展を一切必要とせず、局所的かつ時間に依存しないリンドブラッド演算子のみを用いて普遍的量子計算を達成する。
• 定常状態 $ \rho_0 $ は一意的であり、$ \mathcal{O}(T^2) $ の時間で到達可能で、スペクトルギャップ $ \Delta = \pi^2 / (2T+3)^2 $ を有する。これにより、系サイズに依存しない多項式時間収束が保証される。
• 任意の量子回路の出力は、定常状態からクロックレジスタを測定することで確率 $ 1/T $ で抽出可能であり、初期状態の準備に対して頑健である。
• 本手法により、行列積状態（MPS）および投影もつれペア状態（PEPS）の効率的準備が可能であり、トーリックコードやレヴィン＝ウェンモデルを含むトポロジカルコードの準備も可能である。
• 散逸パラメータを調整することで、定常状態が量子臨界転移を経験し得る。転移点は熱力学的極限で検出可能である。
• 誤差を任意に小さくできるように、$ \mathcal{O}(N^{2\log_2 N + \log_2 C}) $ 回の写像適用が可能であり、$ C $ の調整により指数的でないスケーリングが達成可能である。