[論文レビュー] Quantum Computational Complexity

John Watrous|ArXiv.org|Apr 21, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、量子回路モデルにおけるBQP、QMA、QIPなどの基礎的概念を確立する、量子計算複雑性の包括的サーベイを提供している。多項式時間の量子計算、量子証明、インタラクティブ証明系のパワーを分析し、BQP や QMA といった量子複雑性クラスが、量子コンピュータによって効率的に解けるか検証可能な問題を捉えていることが明らかになった。主な結果として、それらのクラスが古典的クラスとの関係を示し、グラフ同型性がBQPに含まれるかどうかの未解決問題も提示している。

ABSTRACT

This article surveys quantum computational complexity, with a focus on three fundamental notions: polynomial-time quantum computations, the efficient verification of quantum proofs, and quantum interactive proof systems. Properties of quantum complexity classes based on these notions, such as BQP, QMA, and QIP, are presented. Other topics in quantum complexity, including quantum advice, space-bounded quantum computation, and bounded-depth quantum circuits, are also discussed.

研究の動機と目的

• 多項式時間の量子計算、量子証明、量子インタラクティブ証明系を含む、量子計算複雑性の核心的概念を形式化しサーベイすること。
• 量子回路モデルが、量子複雑性クラスを定義する主なフレームワークとして果たす役割を明確にすること。
• 量子複雑性クラス（例：BQP、QMA、QIP）と古典的複雑性クラス（例：P、NP、PSPACE）の関係を検討すること。
• NPがBQPに含まれるかどうかや、複数プローバーを伴う量子インタラクティブ証明のパワーといった、量子複雑性分野における未解決問題を特定・強調すること。
• 深さ有界および空間有界の量子回路の計算パワーを調べ、それらが複雑性クラスの階層に与える影響を検討すること。

提案手法

• 量子ゲートがユニタリ操作と測定を介してキュービットに作用する量子回路モデルを用いて、量子複雑性クラスを定義する。
• BQPを、有界誤差を伴い多項式時間で解ける決定問題のクラスとして定義する。
• QMAを、効率的に検証可能な量子証明（量子ワーニング）を持つ問題のクラスとして定義し、古典的証明を伴うNPに類似している。
• QIPを、1体以上の量子プローバーと量子検証者が関与する量子インタラクティブ証明系によって解ける問題のクラスとして導入する。
• 深さ有界量子回路（例：QNC）の計算パワーを分析し、定数深さの回路ですら一般の多項式サイズ回路と同等に難しいことを示している。
• オракル分離と回路複雑性の結果を用いて、BQPとPH、NPとBQPといった、量子と古典的複雑性クラスの関係を検討している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式時間の量子計算の計算パワーは何か？ そして、それと古典的多項式時間計算との比較は？
• RQ2 量子証明（量子ワーニング）は、計算問題の解を効率的に検証できるか？ そして、QMAはこの文脈で果たす役割は？
• RQ3 量子インタラクティブ証明系（QIP）はどれほど強力か？ そして、古典的インタラクティブ証明系との関係は？
• RQ4 グラフ同型性問題はBQPに含まれるか？ そして、その補集合はQMAにおける量子証明によって検証可能か？
• RQ5 深さ有界量子回路（QNC）と空間有界量子計算の関係は何か？ そして、それらは計算的に同等か？

主な発見

• BQPは、有界誤差を伴い多項式時間で解ける決定問題のクラスを捉えており、BPPより真に大きいと広く信じられている。
• QMAはNPの量子版であり、YESインスタンスが量子証明（量子状態）を用いて効率的に検証可能であり、グラフ非同型性の検証といった問題の複雑性を捉えている。
• 量子インタラクティブ証明系（QIP）は強力である：QIP = PSPACE であり、量子の相互作用が古典的空間有界計算の全パワーを捉えられることを示している。
• 定数深さの量子回路ですら、一般の多項式サイズ回路と同等に難しい受理確率を計算できることを示しており、限られた深さでも高い計算パワーを持つことを示している。
• ショアの因数分解アルゴリズムは、古典的前処理および後処理を伴い対数的深さで実装可能であり、因数分解がQNCに含まれる（古典的支援あり）可能性を示唆している。
• 深さ有界量子回路に制限された場合でも、量子回路の区別問題は依然としてQIP完全のままであり、深さ制限のある量子回路が計算的に自明でないことを示している。