[論文レビュー] Quantum computational finance: martingale asset pricing for incomplete markets

Patrick Rebentrost, Alessandro Luongo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、量子線形計画法の技術——特に量子ゼロサムゲーム、量子シンプレックス、量子擬似逆行列手法——を用いて、量子モンテカルロに依存せずに、不完全な金融市場におけるマルティングゲール資産評価のための新しい量子アルゴリズムを提案する。市場データから直接リスク中立的測度を抽出することで、古典的手法に比べて潜在的な2乗の高速化を達成し、金融的ブートストラップに類似した手法を実現する。

ABSTRACT

A derivative is a financial security whose value is a function of underlying traded assets and market outcomes. Pricing a financial derivative involves setting up a market model, finding a martingale (``fair game") probability measure for the model from the given asset prices, and using that probability measure to price the derivative. When the number of underlying assets and/or the number of market outcomes in the model is large, pricing can be computationally demanding. We show that a variety of quantum techniques can be applied to the pricing problem in finance, with a particular focus on incomplete markets. We discuss three different methods that are distinct from previous works: they do not use the quantum algorithms for Monte Carlo estimation and they extract the martingale measure from market variables akin to bootstrapping, a common practice among financial institutions. The first two methods are based on a formulation of the pricing problem into a linear program and are using respectively the quantum zero-sum game algorithm and the quantum simplex algorithm as subroutines. For the last algorithm, we formalize a new market assumption milder than market completeness for which quantum linear systems solvers can be applied with the associated potential for large speedups. As a prototype use case, we conduct numerical experiments in the framework of the Black-Scholes-Merton model.

研究の動機と目的

• 多くの基礎資産と可能な市場結果を伴う市場における非流動的デリバティブの価格設定という計算的課題に対処すること。
• 市場データから直接マルティングゲール測度を抽出する量子アルゴリズムを開発し、ブートストラップという金融的実務を模倣すること。
• 不完全市場モデルにおける量子線形代数技術を活用することで、マルティングゲール資産価格設定における顕著な高速化を実現すること。
• 市場完全性よりも弱い条件である「最小二乗市場」という新しい市場条件を形式化し、量子線形方程式ソルバーを用いた大規模な量子高速化を可能にする。
• パrametricモデルにおける量子リスク中立的価格設定のフレームワークを提供し、現実的な設定における量子リソース要件を評価すること。

提案手法

• 量子最適化サブルーチンの適用を可能にするために、デリバティブ価格設定問題を線形計画問題として定式化する。
• 量子ゼロサムゲームアルゴリズムを用いて、ε-妥当なマルティングゲール測度を計算し、相対誤差を伴う価格を出力する。
• 量子シンプレックスアルゴリズムを適用して、妥当な測度の凸集合上で価格を最大化または最小化するマルティングゲール測度を求める。
• 量子擬似逆行列アルゴリズムを用いて、同等のマルティングゲール測度にε-近い量子状態を生成する。
• 「最小二乗市場」という概念を導入——市場完全性の緩和版——量子線形方程式ソルバーの効率的使用を可能にする。
• アモニチュード増幅および推定技術をサブルーチンとして活用するが、コアな価格設定メカニズムは量子モンテカルロに依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子モンテカルロ手法に依存せずに、市場データからマルティングゲール測度を抽出するための量子アルゴリズムを用いることは可能か？
• RQ2 量子線形計画法アルゴリズムが不完全市場設定において、古典的手法を上回る性能を示す条件は何か？
• RQ3 収束性および妥当性許容誤差の観点で、量子ゼロサムゲームアルゴリズムは古典的手法と比べてどのように異なるか？
• RQ4 実行時間に現れる要因 $1/\langle\bm{D}|\bm{q}\rangle$ の影響は何か？また、実用的なデリバティブモデルにおいて経済的根拠によりその値を有界化できるか？
• RQ5 市場完全性の仮定を緩和することで、金融価格設定における量子線形方程式ソルバーのより広範な応用が可能になるか？

主な発見

• 量子ゼロサムゲームアルゴリズムは、ε-妥当なマルティングゲール測度を返し、相対誤差を伴う価格を出力する。実行時間は $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\epsilon^2)$ のスケーリングを示す。
• 量子シンプレックスおよび擬似逆行列アルゴリズムは、同等のマルティングゲール測度にε-近い量子状態を生成し、高精度な価格設定を可能にする。
• 実用的な状況では、$N$ および $K$ に対して、実行時間に現れる要因 $1/\langle\bm{D}|\bm{q}\rangle$ が多項式的に増大しない。多くのデリバティブは、重要な数の状況で非ゼロのペイオフを持つためである。
• 「最小二乗市場」という市場条件は、市場完全性よりも弱く、量子線形方程式ソルバーを用いた大規模な高速化を可能にする。
• $\mu=1$, $\sigma=2$ のBSMモデルと、ストライク $150$、基礎資産価格 $100$ のプット・オプションに対して、比 $\rho = D_{\rm max}/\Pi_D \approx 2$ が得られ、実行時間のオーバーヘッドが管理可能であることが示された。
• 提案されたアルゴリズムは定義上、正確な同等マルティングゲール測度を返すわけではないが、実用的なデリバティブ価格設定には十分な精度の近似を提供する。