[論文レビュー] Quantum computational finance: quantum algorithm for portfolio optimization

Patrick Rebentrost, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 31

ひとこと要約

本論文は、量子ランダムアクセスメモリ（qRAM）とハロウ＝ハシディム＝ロイド（HHL）アルゴリズムを活用して、最適なリスクリターントレードオフ曲線を計算し、最適ポートフォリオの量子状態を poly(log(TN)) 時間で生成する量子アルゴリズムを提示する。これは、古典的手法が poly(TN) スケーリングを示すのに対し、潜在的な量子高速化を提供する。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for portfolio optimization. We discuss the market data input, the processing of such data via quantum operations, and the output of financially relevant results. Given quantum access to the historical record of returns, the algorithm determines the optimal risk-return tradeoff curve and allows one to sample from the optimal portfolio. The algorithm can in principle attain a run time of ${ m poly}(\log(N))$, where $N$ is the size of the historical return dataset. Direct classical algorithms for determining the risk-return curve and other properties of the optimal portfolio take time ${ m poly}(N)$ and we discuss potential quantum speedups in light of the recent works on efficient classical sampling approaches.

研究の動機と目的

• 量子線形代数技術を用いて、ポートフォリオ最適化問題を効率的に解く量子アルゴリズムを開発すること。
• 期待リターンが与えられた場合のリスクリターン曲線の計算と最小リスクポートフォリオの特定において、量子高速化を実現すること。
• 量子状態準備とアモニチュード推定が、高い忠実度で最適ポートフォリオからサンプリングするためにどのように利用できるかを示すこと。
• 量子計算の出力から古典的に意味のある金融的結果を抽出する課題に取り組み、実用的関連性を保証すること。

提案手法

• 歴史的リターンデータを量子重ね合わせにロードするために qRAM を使用し、大規模データセットへの効率的アクセスを可能にする。
• ポートフォリオ理論における2次最適化問題の中心となる共分散行列の逆行列を求めるために HHL アルゴリズムを適用する。
• 制御回転とアモニチュード増幅を用いて、平均補正済みリターンを共分散行列に比例する量子状態に符号化する。
• 後選択とアモニチュード推定を活用して、共分散行列のトレースを推定し、状態準備の成功確率を検証する。
• 行列の逆行列を介して最適ポートフォリオの量子状態を準備でき、これをサンプリングすることでスパースでほぼ最適なポートフォリオ割り当てが得られる。
• 最終出力（リスクリターン曲線または最適ポートフォリオ状態）が古典的に意味のある方法で測定され、解釈可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的手法が poly(TN) スケーリングを示すのに対し、量子アルゴリズムはポートフォリオ最適化において poly(log(TN)) の実行時間スケーリングを達成できるか？
• RQ2 等式制約付き2次計画問題としてのポートフォリオ最適化に、量子線形代数技術をどのように適合できるか？
• RQ3 qRAM とアモニチュード増幅が、最適ポートフォリオの効率的状態準備をどのように可能にするか？
• RQ4 量子出力がどのように測定・解釈され、ポートフォリオウェイトやリスクリターンプロファイルといった実行可能な金融インサイトをもたらすか？
• RQ5 現実的なデータ条件下で、最適ポートフォリオ状態を準備する際の実用的限界と成功確率は何か？

主な発見

• 量子アルゴリズムは、リスクリターン曲線の計算と最適ポートフォリオ状態の準備において、O(poly(log(TN))) の実行時間で動作し、古典的手法に比べて潜在的な指数的高速化を実現する。
• リターンが 1 に近い場合、平均補正済みリターン状態の準備成功確率 P_χ は Ω(1) に比例するため、通常の金融データ条件のもとで効率的な状態準備が可能である。
• 後選択とアモニチュード推定を用いて共分散行列のトレースを推定でき、P_χ = (δ²(T−1)trΣ)/(4TN) と表され、重要な統計的性質の検証が可能である。
• アルゴリズムにより最適ポートフォリオ状態からのサンプリングが可能となり、スパースでほぼ最適なポートフォリオが得られる。これは実世界の投資戦略において実用的である。
• 本手法により、特に小さな計算的改善が金融分野で極めて高い価値を持つことを見越して、金融分野における量子優位性がポートフォリオ最適化のような問題において実現可能であることが示された。
• qRAM とエラー低減技術が効果的に実装されれば、近い将来の中規模量子デバイスとも互換性がある。