[論文レビュー] Quantum Computers Speed Up Classical with Probability Zero

Yuri Ozhigov|ArXiv.org|Mar 24, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、長さを保つ関数をランダムに選んだ場合、量子コンピュータによって高速化可能な古典的アルゴリズムの集合は、確率測度がゼロであることを示している。確率1で、このような古典的計算をシミュレートするための量子アルゴリズムは、少なくとも Ω(√T) 回の関数評価を要する。これは、一般にランダム関数の文脈において、量子の高速化が極めてまれであることを示している。

ABSTRACT

Let $f$ denote length preserving function on words. A classical algorithm can be considered as $T$ iterated applications of black box representing $f$, beginning with input word $x$ of length $n$. It is proved that if $T=O(2^{n/(7+e)}), e >0$, and $f$ is chosen randomly then with probability 1 every quantum computer requires not less than $T$ evaluations of $f$ to obtain the result of classical computation. It means that the set of classical algorithms admitting quantum speeding up has probability measure zero. The second result is that for arbitrary classical time complexity $T$ and $f$ chosen randomly with probability 1 every quantum simulation of classical computation requires at least $Ω(\sqrt {T})$ evaluations of $f$.

研究の動機と目的

• 関数がランダムに選ばれた場合の、古典的アルゴリズムにおける量子高速化の頻度を調査すること。
• 量子コンピュータがランダム関数上の任意の古典的計算を効率的にシミュレートできるかどうかを特定すること。
• 量子高速化を許容する古典的アルゴリズムの確率測度を確立すること。
• 古典的計算をシミュレートするための量子アルゴリズムが要する関数評価回数の下界を導出すること。

提案手法

• 研究は、nビットの入力に対してブラックボックス関数 f を T 回繰り返し適用する古典的計算をモデル化し、f は長さを保ち、ランダムに選ばれるものとする。
• T = O(2^{n/(7+ε)}), ε > 0 の場合に、確率1で、量子アルゴリズムは f を少なくとも T 回評価する必要があることを示すために、確率的解析を適用する。
• 測度論的議論を用いて、量子高速化を許容する関数の集合がLebesgue測度ゼロであることを示す。
• 特定の関数 f に依存しない一般の下界 Ω(√T) を、古典的計算の量子シミュレーションに要する評価回数として導出する。
• 量子クエリ複雑度と計算複雑性におけるランダム関数の構造に依存した証明である。
• 漸近的解析と、量子クエリモデルの文脈における確率的境界を用いて、結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムに選ばれた古典的アルゴリズムが、量子コンピュータによって高速化可能である確率は何か？
• RQ2 関数 f をランダムに選んだ場合、時間計算量 T の古典的計算をシミュレートするために必要な最小の量子クエリ数は何か？
• RQ3 関数 f を一様ランダムに選んだ場合、量子計算は大多数の古典的アルゴリズムに対して高速化を提供するか？
• RQ4 ランダム関数上の古典的計算をシミュレートするため、量子アルゴリズムが T よりも少ないクエリ複雑度を達成できるか？
• RQ5 すべての可能な古典的アルゴリズムにわたる、測度論的確率としての量子高速化の可能性は何か？

主な発見

• T = O(2^{n/(7+ε)}), ε > 0 の場合、関数 f をランダムに選んだとき、すべての量子アルゴリズムは、古典的計算の結果を求めるために少なくとも T 回の f 評価を要する。確率1で成立する。
• 関数 f を一様ランダムに選んだ場合、量子高速化を許容する古典的アルゴリズムの集合は、確率測度がゼロである。
• 任意の古典的時間計算量 T に対して、ランダム関数 f 上での古典的計算の量子シミュレーションは、確率1で少なくとも Ω(√T) 回の f 評価を要する。
• 特定の f の構造に依存せず、f がランダムに選ばれている限り、Ω(√T) の下界は成立する。
• これらの結果は、量子高速化がランダム関数では一般的ではないことを示唆しており、理論的には可能ではあるが。
• 入力サイズ n が増加するに従い、関数空間の指数的増加に伴い、量子高速化の確率は急速に減少する。