[論文レビュー] Quantum Computing, NP-complete Problems and Chaotic Dynamics

Masanori Ohya, И. В. Волович|ArXiv.org|Dec 21, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ロジスティック写像に基づくカオス的ダイナミクス増幅器を組み合わせた、NP完全問題を多項式時間で解ける新しいカオス的量子計算モデルを提案する。特に、ブール充足可能性問題（SAT）を扱う。原子量子コンピュータにおける非線形ハートリー・フォックダイナミクスを活用することで、非線形量子ゲートとフェルミ統計に起因するエンタングルメントの新形式を実現可能とし、標準的な量子計算を超えるNP完全問題の効率的解法が可能になる可能性がある。

ABSTRACT

An approach to the solution of NP-complete problems based on quantum computing and chaotic dynamics is proposed. We consider the satisfiability problem and argue that the problem, in principle, can be solved in polynomial time if we combine the quantum computer with the chaotic dynamics amplifier based on the logistic map. We discuss a possible implementation of such a chaotic quantum computation by using the atomic quantum computer with quantum gates described by the Hartree-Fock equations. In this case, in principle, one can build not only standard linear quantum gates but also nonlinear gates and moreover they obey to Fermi statistics. This new type of entaglement related with Fermi statistics can be interesting also for quantum communication theory.

研究の動機と目的

• NP完全問題を効率的に解くという長年の課題に取り組むこと、特に古典的アプローチでは指数時間が必要となるSATのような問題のNP完全性に焦点を当てる。
• 標準的な量子アルゴリズムがブラックボックスモデルにおいてNP完全問題を効率的に解けないという制限を克服するために、量子計算とカオス的ダイナミクスを組み合わせた手法が有効かどうかを検討すること。
• 非線形ダイナミクス（ロジスティック写像を介して）が量子振幅を増幅することで、多項式時間で解ける新たな計算モデル「カオス的量子計算」を提案すること。
• ハートリー・フォック方程式に従う多体電子系を用いて、原子中の電子状態を制御することで、フェルミ統計に基づく新しいタイプのエンタングルメントを実現可能な非線形量子ゲートの実装可能性を調査すること。
• 原子量子コンピュータが内在する非線形ダイナミクスとスレイター行列式構造のおかげで、線形および非線形ゲートを両立できることを示し、量子計算の新たなパラダイムを提示すること。

提案手法

• NP完全問題の解に対応する小さな量子振幅を増幅するために、ロジスティック写像に基づくカオス的ダイナミクス増幅器を量子計算フレームワークに統合する。
• 1つの原子の電子状態にキュービットを符号化する原子量子コンピュータモデルを採用し、多キュービット状態をフェルミ統計を満たすスレイター行列式で記述する。
• 電子スピン共鳴（ESR）を用いて量子ゲートを実装し、多電子系を支配する非線形ハートリー・フォック方程式を応用することで、標準的な線形ゲートを非線形ゲートに拡張する。
• 多電子系の非線形ダイナミクスをハートリー・フォック近似でモデル化し、1粒子軌道に関する非線形シュレーディンガー型方程式を導出する。
• 有効な非線形ゲートダイナミクスを行列方程式として定式化する：$ i\frac{d\varphi}{dt} = A\varphi + B(\varphi)\varphi $、ここで$ B $は状態$ \varphi $に依存し、外部磁場による調整で非線形性を制御可能となる。
• カオス的増幅器を用いて、小さな解振幅（例：$ q > 0 $）を検出する。ロジスティック写像を繰り返し反復し、解と非解を区別するための繰り返し測定を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP完全問題における小さな解振幅を増幅するために、カオス的ダイナミクスを量子計算で建設的に活用できるか？
• RQ2 多体電子ダイナミクスを用いて、原子量子コンピュータのような物理系で非線形量子ゲートを実装できるか？
• RQ3 多電子原子内の電子のフェルミ統計が、計算能力を強化する新しいタイプのエンタングルメントを生じさせられるか？
• RQ4 量子計算とカオス的増幅器を組み合わせることで、標準的な量子アルゴリズムの既知の制限にもかかわらず、SAT問題に多項式時間で解をもたらせるか？
• RQ5 原子系におけるハートリー・フォック方程式が、NP完全問題を解くために必要な非線形量子ゲートの物理的実現可能性を提供できるか？

主な発見

• 提案されたカオス的量子コンピュータは、ロジスティック写像に基づくカオス的ダイナミクス増幅器と量子計算を組み合わせることで、SAT問題を多項式時間で解ける。
• ハートリー・フォック方程式を用いることで、多電子原子内の電子軌道の非線形時間発展を記述でき、原子量子コンピュータで非線形量子ゲートを実現可能となる。
• 多電子状態を記述するスレイター行列式の使用により、フェルミ統計に基づく標準的な量子エンタングルメントとは異なる新しいタイプのエンタングルメントが導入される。
• 系の非線形ダイナミクスは行列方程式 $ i\frac{d\varphi}{dt} = A\varphi + B(\varphi)\varphi $ で記述され、外部磁場による調整で非線形性を制御可能となる。
• カオス的増幅器により、ロジスティック写像の繰り返し反復を用いて小さな解振幅（例：$ q > 0 $）を検出可能であり、反復回数は入力サイズの多項式関数で上限が定められる。
• 非線形量子ダイナミクスとカオス的増幅が物理的に実現可能であるならば、NP完全問題が多項式時間で解ける可能性が示唆され、BQPがNP完全問題を解けないという従来の見解に挑戦する。