[論文レビュー] Quantum Computing with Superqubits

Leonardo Castellani, Pietro Antonio Grassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、補助量子系を導入することで、Grassmann係数をフェルミオン生成演算子として解釈することにより、物理的に実現可能なスーパーキュービット（squbit）の定式化を提案する。これによりボソン統計とユニタリなスーパicultural量子ゲートが可能になる。主な貢献は、クラッファード代数に基づく形式的枠組みであり、もつれ、スーパーゲート、およびトランスポートが可能であるが、トランスポートにおける因果律の破れは、空間的に分離された動的なGrassmann変数の導入が不可欠であることを示している。

ABSTRACT

We analyze some aspects of quantum computing with super-qubits (squbits). We propose the analogue of a superfield formalism, and give a physical interpretation for the Grassmann coefficients in the squbit expansion as fermionic creation operators of an auxiliary quantum system. In the simplest case the squbit is a superposition of one Bose X Bose and one Fermi X Fermi state, and its norm is invariant under a U(2) group realized with Clifford-valued matrices. This case can be generalized to a superposition of n_B bosonic and n_F fermionic states, with a norm invariant under U(n_B + n_F). Entanglement between squbits, super quantum gates and teleportation are discussed.

研究の動機と目的

• Grassmann係数が従来は抽象的かつ非物理的であったスーパーキュービット形式的枠組みにおける物理的解釈を提供すること。
• ボソン状態とフェルミオン状態の重ね合わせを禁止する超選択則の問題を、補助ボソン・フェルミオン量子系の導入により解決すること。
• 元来のGrassmann数形式的枠組みを超えて、実用的な量子ゲート操作ともつれを可能にするようにスーパーキュービットの概念を一般化すること。
• 特に超対称性交換ゲートを通じて、超対称性が量子計算に与える影響を調査すること。
• スーパートランスポートの分析を行い、静的なGrassmann変数を用いる場合に生じる因果律の破れを特定すること。

提案手法

• 超選択則を回避し、ボソン状態とフェルミオン状態の重ね合わせを可能にするために、ボソンとフェルミオンを併せ持つ補助量子系を導入する。
• Grassmann係数をフェルミオン生成演算子に昇格させ、補助系上で作用させることで、クラッファードスーパーキュービットを定義し、全状態がボソン統計を満たすように保証する。
• Grassmann座標 $\theta_i$ を含むスーパーフィールド展開を通じてスーパーヒルベルト空間の状態を構築し、係数を複素数とする。
• Grassmann変数におけるBerezin積分を用いて正のスーパーゲージを定義し、状態係数の確率的解釈を可能にする。
• Clifford係数を有する行列を用いてユニタリスーパigestを実装し、$|B\rangle$ と $\theta|F\rangle$ 状態を入れ替える超対称性ゲートを含む。
• スーパーエンタングルド粒子対（super-EPR pair）を用いたスーパートランスポートを分析し、静的な $\theta$-依存性が因果律の破れを引き起こすことを示すが、空間依存性を持つ $\theta(x)$ モードを導入することで解決可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スーパーキュービット状態におけるGrassmann係数を、抽象的数学的実体として扱うのではなく、物理的解釈をどのように行えるか？
• RQ2 超選択則を尊重しつつ、ユニタリな時間発展ともつれを維持できるように、スーパーキュービットをどのように構築できるか？
• RQ3 物理的実現可能なスーパーキュービット（ボソン統計を満たす）を実現するために、補助量子系が果たす役割は何か？
• RQ4 特に超対称性ゲートがスーパーキュービットにどのように作用するか、そのユニタリ性およびエルミート性の性質は何か？
• RQ5 なぜ静的なGrassmann変数を用いたスーパートランスポートは因果律の破れを引き起こすのか？空間依存性を持つ $\theta$-場を導入することでどのように是正できるか？

主な発見

• 状態が $n_B$ 個のボソン的成分と $n_F$ 個のフェルミオン的成分を含むスーパーヒルベルト空間に展開される場合、スーパーキュービットのノルムは $U(n_B + n_F)$ 対称性に対して不変である。
• Berezin積分を用いて定義されたスーパーゲージは、複素係数の絶対値の二乗の和として正定値となるため、状態係数の確率的解釈が可能である。
• 制御スーパーゲート（例：CNOT）は、$\theta|F\rangle \otimes \theta|F\rangle = 0$ のため、3次元ヒルベルト空間に作用する $3 \times 3$ のユニタリ行列として実装可能であり、通常のボソン的CNOTより次元が1つ小さい。
• $\theta$-変数が静的である限り、スーパートランスポートは古典的通信なしに元のキュービットを回復可能であるが、この場合、空間的に分離されたsqubitでは因果律の破れが生じる。
• 因果律の破れは、空間的に分離された系において $\theta|F\rangle \otimes \theta|F\rangle = 0$ と仮定することに起因するが、これは $x$-依存性を持つ $\theta(x)$ モードを導入することでのみ解消可能である。
• 超対称性は、$|B\rangle$ と $\theta|F\rangle$ 状態を入れ替える量子ゲートとして実装可能であり、このゲートはユニタリかつエルミート的であり、$U^2 = I$ を満たす。