[論文レビュー] Quantum constraint learning for quantum approximate optimization algorithm

Santosh Kumar Radha|arXiv (Cornell University)|May 14, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、組合せ最適化におけるハード制約を強制するために、量子機械学習を用いてミキサーハミルトニアンを学習する量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）のための量子制約学習（QCL）を提案する。この手法は、状態の時間発展を実行可能な部分空間に制限するユニタリ変換を学習し、NISQデバイスにおける回路深さと制約の正確性の間で柔軟なトレードオフを可能にする。また、新たなワーサーテインに基づく性能指標により、ランダム解や制約なし解に比べて制約の強制が向上していることが示された。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is a hybrid quantum-classical variational algorithm that offers the potential to handle combinatorial optimization problems. Introducing constraints in such combinatorial optimization problems poses a significant challenge in the extensions of QAOA to support relevant larger-scale problems. This paper introduces a quantum machine learning approach to learn the mixer Hamiltonian required to hard constrain the search subspace. We show that this method can be used for encoding any general form of constraints. One can directly plug the learnt unitary into the QAOA framework using an adaptable ansatz. This procedure gives the flexibility to control the depth of the circuit at the cost of the accuracy of enforcing the constraint, thus having immediate application in the Noisy Intermediate Scale Quantum (NISQ) era. We also develop an intuitive metric that uses Wasserstein distance to assess the performance of general approximate optimization algorithms with/without constraints. Finally, using this metric, we evaluate the performance of the proposed algorithm.

研究の動機と目的

• 既存のミキサーハミルトニアン設計では難しい一般ハード制約のQAOAにおける強制という課題に対処すること。
• 量子機械学習を用いてトレーニング可能なミキサーを設計し、時間発展中に制約部分空間を保存すること。
• Noisy Intermediate-Scale Quantum（NISQ）デバイスにおける回路深さと制約の正確性の間の調整可能なトレードオフを可能にすること。
• 1-Wasserstein距離に基づく新しい性能指標を導入し、近似最適化アルゴリズムにおける制約強制の定量的評価を行うこと。
• 学習されたミキサーが、実行可能な部分空間内での解の忠実度を維持する点で、ランダム解や制約なし解を上回ることを示すこと。

提案手法

• 制約ハミルトニアン $ H_{qcl} $ の時間発展演算子 $ e^{-iH_{qcl}t} \ket{\psi_i} \in \mathcal{H}_c $ を学習するための量子回路を訓練し、すべての $ \ket{\psi_i} \in \mathcal{H}_c $ に対して成り立たせる。
• 制約部分空間 $ \mathcal{H}_c $ 内での状態発展演算の忠実度に基づくコスト関数を用いた変分量子回路を用いる。
• 訓練された $ H_{qcl} $ をQAOAフレームワークに組み込み、Xミキサーなどの標準ミキサーに置き換える。
• 性能評価のための有界な指標を可能にするために、状態を制約の満たし方の優先順位とその後にQUBOコストで順序付けたマッピング基底 $ \ket{\tilde{i}} $ を定義する。
• 1-Wasserstein距離指標 $ \zeta(\ket{\psi^*}) = 1 - W_1(\ket{\tilde{0}}, \ket{\psi^*}) $ を構築し、$ \ket{\tilde{0}} $ を理想解、$ \ket{\psi^*} $ を出力状態とする。
• この指標を用いて、QCL-QAOAをランダム解や制約なしQAOAと比較し、$ \zeta = 1 $ は完全な解集中を示し、$ \zeta = 0.5 $ はランダム性能を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子機械学習的手法は、QAOAにおける任意のハード制約を強制するミキサーを効果的に学習できるか？
• RQ2 学習されたミキサーをQAOAで使用する際、回路深さと制約の正確性のトレードオフはどのように現れるか？
• RQ3 ワーサーテインに基づく指標は、近似最適化における制約強制の性能を有界で直感的かつ定量的に測定できるか？
• RQ4 QCL-QAOAは、実行可能な部分空間内での解の忠実度を維持する点で、ランダム解や制約なしQAOAを上回るか？
• RQ5 QAOAの深さ $ p $ が増加するにつれてQCL-QAOAの性能はどのように変化するか？また、制約部分空間への漏れが発生する前に最適な $ p_0 $ が存在するか？

主な発見

• QCL-QAOA手法は、理論的条件を満たすように、状態発展演算を制約部分空間 $ \mathcal{H}_c $ に制限するミキサーを学習し、ハード制約の強制が成功した。
• 性能指標 $ \zeta $ は0から1の間で有界であり、$ \zeta = 1 $ は完全な $ \delta $-関数解を示し、$ \zeta = 0.5 $ はランダム性能を示すため、定量的比較が可能である。
• 3キュービットの例では、QCL-QAOAは最適解に対して $ \zeta \approx 0.9 $ の性能指標を達成し、ランダム初期化（$ \zeta = 0.5 $）に比べて顕著に優れている。
• この手法は、制約強制がピークに達する最適な $ p_0 $ 深さを示す。それ以上の深さでは、制約部分空間への漏れが生じ、性能がグローバル最適解に近づく傾向を示し、標準QAOAに類似する。
• 学習されたミキサーにより、深さを変更することで調整可能なトレードオフが可能である。より深い回路は制約の正確性を向上させるが、ノイズと漏れの影響により誤差が増加するため、NISQ時代の応用に適している。
• このアプローチは、学習手順が特定の制約構造に依存しないため、あらゆる種類の制約に一般化可能であり、QAOAフレームワークに直接統合可能で、適応可能なアーキテクチャを備えている。