[論文レビュー] Quantum Control at the Boundary

A. Balmaseda, Juan Manuel Pérez-Pardo|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2018

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、系の状態を直接ハミルトニアンによる相互作用ではなく、境界条件を動的に調整することによって制御する、新しい量子制御フレームワーク—境界における量子制御（QCB）—を提案する。著者らは、時間に依存する境界条件を伴う磁気ラプラシアンに従う1次元量子系について、近似的な可制御性を厳密に証明し、区分的滑らかさを持つ制御を用いることで、任意の目的状態を任意に近い精度で達成できることを示している。

ABSTRACT

We present a scheme for controlling the state of a quantum system by modifying the boundary conditions. This constitutes an infinite-dimensional control problem. We provide conditions for the existence of solutions of the dynamics and prove that this system is approximately controllable.

研究の動機と目的

• 直接ハミルトニアン結合を避ける代わりに境界条件を操作することによって、量子制御の新しいパラダイムを確立すること。
• 境界制御下での無限次元量子系に対する厳密な可制御性の結果が不足しているという問題に取り組むこと。
• 磁気ラプラシアンを伴う物理的に実現可能な1次元量子系において、境界制御が近似的な可制御性を達成できることを示すこと。
• 有限次元量子制御モデルと無限次元系との間のギャップを埋め、切断に起因するデコherenceを回避すること。
• 境界に基づく制御における数学的厳密な基盤を提供し、量子情報やシミュレーションへの応用可能性を示すこと。

提案手法

• 時間に依存する磁気ラプラシアンと時間変動する周期的境界条件を用いて、量子制御問題を定式化する。
• 境界条件の変動を有効な時間に依存するハミルトニアンに写像するため、時間に依存するユニタリ変換を適用する。
• 系を、ドリフトハミルトニアンとベクトルポテンシャル $ A(t) $ 及びその微分に依存する項を含む線形制御系としてモデル化する。
• 時間に依存するハミルトニアン $ H(t) = -[(d/dx - iA(t))^2 + A'(t)x] $ の形をとるシュレーディンガー方程式を用いる。ここで $ A(t) $ は境界ダイナミクスを支配する。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式および自己随伴拡張に関する標準定理を用いて、ダイナミクスの適切な定義を証明する。
• 区分的 $ C^2 $ 制御を用いて、任意の目的状態に対して $ \varepsilon $ の誤差内に到達できることを示すことにより、近似的な可制御性を確立する。さらに、近似を用いて滑らかな制御への拡張も行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接ハミルトニアン結合を避けて、境界条件を操作することにより、量子系を近似的に制御することは可能か？
• RQ2 時間変動する境界条件の下で、時間発展の存在性とユニタリティを保証する数学的条件は何か？
• RQ3 境界制御によって、無限次元量子系においても近似的な可制御性を達成することは可能か？
• RQ4 時間に依存する境界条件を、解析に適した有効な時間に依存するハミルトニアンにどのように写像できるか？
• RQ5 滑らかな制御を用いて、このような系で目的状態の任意の近似を達成することは可能か？

主な発見

• 提案された境界における量子制御（QCB）フレームワークは数学的に適切に定式化されており、時間に依存する境界条件のもとでもユニタリ時間発展が保証される。
• 境界条件の変動によって誘発されるダイナミクスは、$ H(t) = -[(d/dx - iA(t))^2 + A'(t)x] $ の形をとる時間に依存するハミルトニアンとして等価に記述可能であり、標準的な量子制御解析が可能になる。
• 近似的な可制御性が証明された：任意の初期状態および目的状態、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、区分的 $ C^2 $ 制御関数 $ A(t) $ が存在し、その結果得られる状態が目的状態から $ \varepsilon $ 以内に到達する。
• 滑らかな制御への拡張も可能である：滑らかな $ A(t) $ を用いることで、任意の目的状態を任意の精度で近似可能である。
• 系は、時間に依存する磁束を伴うリング上の量子粒子として物理的に実現可能であり、実験的実装が可能なプラットフォームを提供する。
• 本研究は、有限次元への切断を回避し、それに伴うデコherenceの原因を避けることにより、境界条件による制御の下での量子系の可制御性を初めて厳密に証明した。