[論文レビュー] Quantum convolution and quantum correlation algorithms are physically impossible

Chris Lomont|ArXiv.org|Sep 8, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、古典的信号処理および画像処理で一般的に用いられる量子畳み込みおよび量子相関アルゴリズムが、量子コンピュータ上で物理的に実装できないことを証明している。著者らは、量子状態係数の成分ごとの乗算というコアなステップが量子力学に違反することを示し、ユニタリ操作、測定の系列、あるいは物理的プロセスがすべて線形性およびユニタリティの原則に違反せずにこれらの操作を計算できないことを示している。

ABSTRACT

The key step in classical convolution and correlation algorithms, the componentwise multiplication of vectors after initial Fourier Transforms, is shown to be physically impossible to do on quantum states. Then this is used to show that computing the convolution or correlation of quantum state coefficients violates quantum mechanics, making convolution and correlation of quantum coefficients physically impossible.

研究の動機と目的

• 量子畳み込みおよび相関アルゴリズムが量子コンピュータ上で物理的に実現可能かどうかを調査すること。
• このようなアルゴリズムの実装を妨げる根本的な物理的および数学的障壁を特定すること。
• キーステップである、量子状態係数の成分ごとの乗算が、量子力学的原則に違反することを示すこと。
• ユニタリ操作や測定のいずれの物理的プロセスでも、量子畳み込みや相関を実行できないことを証明すること。
• 量子コンピューティングの限界を明確にすること、特に古典的畳み込みおよび相関アルゴリズムが通常高速化する問題に対して。

提案手法

• 離散フーリエ変換（DFT）および逆離散フーリエ変換（IDFT）を用いて、古典的畳み込みおよび相関を定義し、ユニタリティを保つために正規化因子を導入する。
• 量子畳み込みおよび相関を、量子状態上の変換として定式化し、QFT後に振幅ベクトルの成分ごとの乗算を必要とする。
• 線形代数を用いて、このような変換を実行する任意の演算子が、線形性およびユニタリティに違反することを示し、これは補題14および推論15で証明されている。
• 測定の延期の原理を適用し、ユニタリ操作と測定の任意の系列を、1つのユニタリ操作に続く1回の測定に簡略化する。
• 定理16で示されるように、このようなユニタリ操作や測定操作では、必要な変換を実行できないことを証明する。
• 結論として、量子畳み込みや相関プロセスの存在が、量子の複製禁止定理および量子線形性に矛盾することを示し、物理的に実現不可能であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子畳み込みおよび相関アルゴリズムは、量子コンピュータ上で物理的に実装可能か？
• RQ2 量子状態係数への成分ごとの乗算の実装を妨げる、量子力学の根本的原則は何か？
• RQ3 ユニタリ変換、測定、あるいはそれらの系列としての、量子畳み込みや相関を計算できる物理的プロセスは存在するか？
• RQ4 なぜ古典的FFTベースの畳み込みおよび相関手法は、量子状態に適用すると失敗するのか？
• RQ5 複製禁止定理は、量子畳み込みおよび相関の計算が不可能であることにどのように関係しているか？

主な発見

• 量子畳み込みおよび相関は、ユニタリ操作や測定の系列を含め、いかなる物理的プロセスでも計算できない。
• コアとなる操作である、QFT後の量子状態係数の成分ごとの乗算が、量子力学の線形性およびユニタリティに違反している。
• 線形演算子、ユニタリ変換、あるいは測定の系列としてのいかなるものでも、2つの量子状態のテンソル積を、それらの畳み込みまたは相関を表す状態に写像できない。
• この不可能性は、補題14および推論15によって証明されており、このような変換が量子力学的原則と数学的に整合しないことを示している。
• 入力状態の複数コピーが利用可能であっても、複製禁止定理により、古典的サンプリングと係数の再構築が不可能であり、制限を回避できない。
• この結果は、古典的FFTベースのアルゴリズムの直接的な類似物によって、畳み込みおよび相関の量子高速化が達成できないことを示唆している。