[論文レビュー] Quantum criticality from Ising model on fractal lattices

Beni Yoshida, Aleksander Kubica|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ハウスドルフ次元 ≈1.585 のフラクタル格子としてのシエルピンスキー三角形上で、モンテカルロシミュレーションと実空間RG解析を用いて、量子臨界性を示した。2次相転移が明確に観測され、正確なスケーリング関係が成立しており、普遍性クラスが対称性と空間次元によってのみ決定されるという従来の信念に挑戦する。さらに、同様の格子上における3状態ポットス模型の1次相転移も確認された。

ABSTRACT

We study the quantum Ising model on the Sierpiński triangle, whose Hausdorff dimension is $\log 3/ \log 2 \approx 1.585$, and demonstrate that it undergoes second-order phase transition with scaling relations satisfied precisely. We also study the quantum $3$-state Potts model on the Sierpiński triangle and find first-order phase transition, which is consistent with a prediction from $ε$-expansion that the transition becomes first-order for $D > 1.3$. We then compute critical exponents of the Ising model on higher-dimensional Sierpiński pyramids with various Hausdorff dimension via Monte-Carlo simulations and real-space RG analysis for $D\in[1,3]$. We find that only the correlation length exponent $ν$ interpolates the values of integer-dimensional models. This implies that, contrary to a generally held belief, the universality class of quantum phase transition may not be uniquely determined by symmetry and spatial dimension of the system. This work initiates studies on quantum critical phenomena on graphs and networks which may be of significant importance in the context of quantum networks and communication.

研究の動機と目的

• 非整数ハウスドルフ次元を有するフラクタル格子上に、強相関系の多体系として量子臨界性が出現するかを調査すること。
• 標準的手法がヒルベルト空間の指数的増大により失敗する状況において、フラクタル格子を高次元量子臨界現象のプローブとして用いる有効性を検証すること。
• 量子相転移の普遍性クラスが、対称性と空間次元によって一意に決定されるかどうかを、特に有限の分岐数を有する系において検討すること。
• ハウスドルフ次元 D ∈ [1,3] のシエルピンスキーピラミッド上における量子イジング模型の臨界指数を、整数次元モデルのそれと比較すること。
• フラクタル格子が、標準的格子を超えた量子ネットワークや量子臨界性の研究における計算的・概念的ツールとしての有効性を検証すること。

提案手法

• トロッター＝スズキ分解を用いたモンテカルロシミュレーションにより、シエルピンスキー三角形上における量子イジング模型およびポットス模型を、フラクタル層のスタック上に配置された古典的統計模型に写像した。
• 有限の分岐数を有するシエルピンスキー三角形および高次元のシエルピンスキーピラミッドを格子として用い、実空間リノーマル化群（RG）解析を効率的に行えるようにした。
• フラクタル構造の自己相似性に基づく粗挙げスキームを用いた実空間RGを適用し、相関長指数 ν などの臨界指数の推定が可能になった。
• モンテカルロシミュレーションと実空間RGの両方を用いて、ハウスドルフ次元 D ∈ [1,3] のシエルピンスキーピラミッド上における量子イジング模型の臨界指数を計算した。
• ハミルトニアンの自己双対性を活用し、シエルピンスキーピラミッド上におけるイジング模型の臨界点が ε = 1/2 に位置することを特定した。
• フラクタルモデルの臨界指数を、整数次元系のそれと比較することで、補間挙動と普遍性の妥当性を評価した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非整数ハウスドルフ次元を有するフラクタル格子上に、2次相転移を伴う量子臨界性を実現できるか？
• RQ2 フラクタル格子上における臨界指数は正確なスケーリング関係を満たすか？ これは真の量子臨界性の存在を示唆する。
• RQ3 量子相転移の普遍性クラスは、対称性と空間次元によってのみ決定されるのか？ あるいは、格子のトポロジーがその要因となる可能性はあるか？
• RQ4 ハウスドルフ次元が変化するシエルピンスキーピラミッド上におけるイジング模型の臨界指数は、整数次元系のそれらの間を滑らかに補間するか？
• RQ5 シエルピンスキー三角形上における3状態ポットス模型の相転移は1次相転移であるか？ これは D > 1.3 の場合、理論的予測と整合的であるか？

主な発見

• ハウスドルフ次元 D ≈ 1.585 のシエルピンスキー三角形上における量子イジング模型は、正確なスケーリング関係を満たす2次相転移を示し、量子臨界性の存在が確認された。
• 実空間RGを用いた解析により、シエルピンスキー三角形上におけるイジング模型の相関長指数 ν は ν ≈ 0.72 であった。D = 2（シエルピンスキーピラミッド）の場合は ν ≈ 0.62 であり、両者とも数値推定値と良好に一致した。
• 高次元のシエルピンスキーピラミッド上におけるイジング模型の臨界指数は、整数次元モデルのそれらの間を滑らかに補間しており、ν が主に空間次元と対称性によって支配されることを示唆している。
• シエルピンスキー三角形上における3状態ポットス模型は1次相転移を示し、D > 1.3 の場合に相転移が1次的になるとされる理論的予測と整合的であった。
• 本研究は、有限の分岐数を有するフラクタル格子が、真の量子臨界性を支持できることを示した。これは、普遍性の破れが懸念された過去の疑念を覆すものである。
• 結果から、量子相転移の普遍性クラスが、対称性と空間次元によって一意に決定されるとは限らないことが示唆された。特に、非自明なトポロジーやフラクタル幾何を有する系では、その要因が他に影響を及える可能性がある。