[論文レビュー] Quantum Cyclic Code

Sagarmoy Dutta, Piyush P. Kurur|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、標準的なCSS構成を超えて、量子設定における古典的巡回符号の一般化として、量子巡回符号を導入する。[[5,1,3]]、[[17,1,7]]、[[17,9,3]]の新しい非CSS量子巡回符号を提示し、長さ$4^m+1$の安定化子符号に対してBCH距離フレームワークを用いた多項式時間の量子復号アルゴリズムを開発し、$ floor (d-1)/2 floor$までの誤りを訂正可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we define and study \emph{quantum cyclic codes}, a generalisation of cyclic codes to the quantum setting. Previously studied examples of quantum cyclic codes were all quantum codes obtained from classical cyclic codes via the CSS construction. However, the codes that we study are much more general. In particular, we construct cyclic stabiliser codes with parameters $[[5,1,3]]$, $[[17,1,7]]$ and $[[17,9,3]]$, all of which are \emph{not} CSS. The $[[5,1,3]]$ code is the well known Laflamme code and to the best of our knowledge the other two are new examples. Our definition of cyclicity applies to non-stabiliser codes as well; in fact we show that the $((5,6,2))$ nonstabiliser first constructed by Rains\etal~ cite{rains97nonadditive} and latter by Arvind \etal~\cite{arvind:2004:nonstabilizer} is cyclic. We also study stabiliser codes of length $4^m +1$ over $\mathbb{F}_2$ for which we define a notation of BCH distance. Much like the Berlekamp decoding algorithm for classical BCH codes, we give efficient quantum algorithms to correct up to $\floor{\frac{d-1}{2}}$ errors when the BCH distance is $d$.

研究の動機と目的

• 量子ドメインにおける古典的巡回符号の自然な一般化として、量子巡回符号を定義・特徴づけること。
• CSS型でない新しい量子安定化子符号を構成すること、[[5,1,3]]、[[17,1,7]]、[[17,9,3]]の符号を含む。
• 巡回性の概念を非安定化子符号へ拡張し、新しい定義のもとで((5,6,2))符号が巡回的であることを示すこと。
• 長さ$4^m+1$の量子安定化子符号に対して、$bb{F}_2$上でのBCH距離の概念を定義し、効率的な復号を可能にすること。
• BCH誤り訂正限界内での多項式時間の量子復号アルゴリズムを、このような符号に対して開発すること。

提案手法

• 符号の背後に存在する安定化子群におけるシフト作用素の作用を用いて、量子巡回符号を定義し、古典的巡回符号を量子設定に一般化する。
• Gottesman-Knillフレームワークを用い、量子符号をGottesman部分群および$bb{F}_p^{2n}$内における完全に歪曲な部分空間で表現する。
• コード構造を記述し、誤り多項式の効率的回復を可能にするために、$bb{F}_4[X]/(X^n - 1)$内での理想の生成ペア$(g,h)$を導入する。
• 位相推定と量子フーリエサンプリングを用い、誤り多項式の係数を生成多項式を法として回復する内積を計算する。
• BCH距離$d$が長さ$n = 4^m + 1$の符号に対して定義される場合、誤り数が$ floor (d-1)/2 \rfloor$までに制限されるとき、誤りをベルレクランプ法で復号する。
• Gottesman部分群が巡回的である場合、その結果得られる符号も巡回的であることを示すことにより、擬似安定化子符号へフレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的符号における巡回性の概念は、CSS構成を超えた一般の量子符号に対しても意味的に拡張可能か？
• RQ2 CSS型でない量子巡回符号の構造的およびパrameter的特性は何か？
• RQ3 長さ$4^m + 1$の量子安定化子符号に対して、古典的BCH符号に類似したBCH距離の概念を定義可能か？
• RQ4 BCH誤り訂正限界内での多項式時間の量子復号アルゴリズムは、このような符号に対して存在するか？
• RQ5 非安定化子量子符号、例えば((5,6,2))符号は、新しい定義のもとで巡回的か？

主な発見

• 本論文は、CSS型でない新しい[[17,1,7]]量子巡回符号を構成し、高い距離を持つ新規符号であることを示している。
• CSSフレームワーク外の[[17,9,3]]量子巡回符号が提示され、この構成法の一般性が裏付けられている。
• 有名な[[5,1,3]]Laflamme符号が、提案された量子巡回符号フレームワークの特殊ケースとして再現されている。
• ((5,6,2))非安定化子符号が新しい定義のもとで巡回的であることが示され、非安定化子巡回量子符号の最初の既知の例が確立された。
• 長さ$n = 4^m + 1$の量子安定化子符号でBCH距離$d = 2t + 1$を有する場合、$t$個までの誤りを訂正可能な多項式時間の量子復号アルゴリズムが構築された。
• 復号アルゴリズムは、生成多項式を法として誤り多項式係数を効率的に回復するための量子位相推定に依存し、その後ベルレクランプ法で誤りを訂正する。