[論文レビュー] Quantum dark solitons in the 1D Bose gas and the superfluid velocity

Jun Sato, Rina Kanamoto+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元ボーズガスにおける量子多体状態と古典的ダークソリトンの直接的な関連を確立する。弱い結合領域において、N粒子状態とN−1粒子状態の間の場演算子の行列要素（量子ソリトン状態）が、グロス＝ピタエフケィ方程式のダークソリトンの複素場を再現することを示している。主な結果は、この行列要素が量子ソリトン状態におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮の秩序パラメータとして機能し、ソリトン力学と整合する超流動速度の導出を可能にすることである。

ABSTRACT

We give explicit connections of quantum one-hole excited states to classical solitons for the one-dimensional Bose gas with repulsive short-range interactions. We call the quantum states connected to classical solitons the quantum soliton states. We show that the matrix element of the canonical field operator between quantum soliton states with $N-1$ and $N$ particles is given by a dark soliton of the Gross-Pitaevskii equation in the weak coupling case. We suggest that the matrix element corresponds to the order parameter of BEC in the quantum soliton state. The result should be useful in the study of many-body effects in Bose-Einstein condensation and superfluids. For instance, we derive the superfluid velocity for a quantum soliton state.

研究の動機と目的

• 反発的相互作用を有する1次元ボーズガスにおいて、古典的ダークソリトンの量子力学的実現を確立すること。
• Lieb型II励起状態の重ね合わせとして構成される特定の量子状態—密度および位相プロファイルがソリトンに類似するもの—を同定すること。
• Lieb-Liniger模型における隣接する粒子数状態間の場演算子の行列要素が、古典的秩序パラメータとしてのダークソリトンの複素場に一致することを示すこと。
• この量子ソリトン状態の位相構造から超流動速度を導出し、ソリトン運動と関連付けること。

提案手法

• Lieb-Liniger模型において、並進対称性を破るLiebのタイプII（1つの空孔）励起状態の重ね合わせとして量子ソリトン状態を構築する。
• N−1粒子状態とN粒子状態の間の行列要素 $ \psi_{\text{QS}}(x) = \langle X,N-1|\hat{\psi}(x)|X,N\rangle $ を計算する。
• 周期的境界条件下で、$ \psi_{\text{QS}}(x) $ が弱い結合領域においてグロス＝ピタエフケィ方程式の周期的ダークソリトン解の複素場と漸近的に一致することを示す。
• 位相プロファイル $ \theta(x) $ を $ \psi_{\text{QS}}(x) $ の位相から抽出し、$ v_s = \frac{\hbar}{m} \frac{d\theta}{dx} $ を用いて超流動速度を導出する。
• 大 $ N $ および弱い結合領域において、$ \psi_{\text{QS}}(x) $ が量子ソリトン状態における凝縮秩序パラメータとして機能すると仮説を立てる。
• 数値的に、$ |\psi_{\text{QS}}(x)|^2 $ と古典的ダークソリトンの密度プロファイルとの一致を確認する（特に $ N=500 $、$ c=0.01 $、$ n=1 $ の場合）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元ボーズガスにおける量子多体状態を、その密度および位相プロファイルが古典的ダークソリトンと一致するように構築できるか？
• RQ2 Lieb-Liniger模型において、隣接する粒子数状態間の場演算子の行列要素が、弱い結合領域で古典的複素場としてのダークソリトンを再現するか？
• RQ3 この行列要素は、量子ソリトン状態におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮の秩序パラメータとして有効か？
• RQ4 このような量子ソリトン状態に関連する超流動速度は何か？また、ソリトンの運動とどのように関係するか？
• RQ5 行列要素の位相構造は、系内の超流動電流をどのように決定するか？

主な発見

• 弱い結合および大 $ N $ の領域において、行列要素 $ \psi_{\text{QS}}(x) = \langle X,N-1|\hat{\psi}(x)|X,N\rangle $ は、グロス＝ピタエフケィ方程式の周期的ダークソリトンの複素場とよく一致する。
• 振幅の二乗 $ |\psi_{\text{QS}}(x)|^2 $ は、ダークソリトンの特徴的な密度ノッチを再現しており、古典的ソリトン密度プロファイルと整合的であることが確認された。
• $ \psi_{\text{QS}}(x) $ の位相プロファイルは、$ \theta(x) = \pi x/L - \pi H(x - X - L/2) $ にフィットし、ソリトン中心で段階的な位相ジャンプを示している。
• 導出された超流動速度は $ v_s = \frac{2\pi}{L} - \pi \delta(x - X - L/2) $ であり、ソリトン位置に特異性を示し、ソリトン速度 $ v \simeq 2\pi/L $ と一致する。
• 大 $ N $ および小 $ c $ の領域において、行列要素 $ \psi_{\text{QS}}(x) $ は凝縮秩序パラメータであると仮説される。このとき、1粒子還元密度行列は $ |x-y| \gg 1 $ に対して $ \rho_1(x,y) \simeq \psi_{\text{QS}}^*(x)\psi_{\text{QS}}(y) $ を満たす。
• 弱い結合および大 $ N $ の領域では凝縮の減少が小さく、量子ソリトン状態における平均場近似の妥当性が支持される。