[論文レビュー] Quantum deformation of Whittaker modules and Toda lattice

A. Sevostyanov|ArXiv.org|May 20, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、量子群における普遍包あらゆる代数の中心のコスタントのホイットカー・モデルを一般化し、正則冪零元の量子類似物を導入することで、量子ホイットカー・モジュールの構成を可能にする。このアプローチにより、量子代数および表現論の技法を用いて、変形量子トーダ格子の完全可積分性に対する新たな証明が得られ、コスタントの元来の方法が量子設定へと拡張される。

ABSTRACT

In 1978 Kostant suggested the Whittaker model of the center of the universal enveloping algebra U(g) of a complex simple Lie algebra g. The main result is that the center of U(g) is isomorphic to a commutative subalgebra in U(b), where b is a Borel subalgebra in g. This observation is used in the theory of principal series representations of the corresponding Lie group G and in the proof of complete integrability of the quantum Toda lattice. In this paper we generalize the Kostant's construction to quantum groups. In our construction we use quantum analogues of regular nilpotent elements defined in math.QA/9812107. Using the Whittaker model of the center of 5the algebra U_h(g) we define quantum deformations of Whittaker modules. The new Whittaker model is also applied to the deformed quantum Toda lattice recently studied by Etingof in math.QA/9901053. We give new proofs of his results which resemble the original Kostant's proofs for the quantum Toda lattice.

研究の動機と目的

• U(g) の中心のコスタントの古典的ホイットカー・モデルを量子群へと拡張すること。
• 正則冪零元の量子類似物を用いて、ホイットカー・モジュールの量子変形を定義すること。
• Etingof が導入した変形量子トーダ格子にホイットカー・モデルを適用すること。
• 変形量子トーダ格子の完全可積分性に対する、コスタント風の新たな証明を提供すること。
• 表現論的手法を用いた可積分系を研究するための量子群フレームワークを確立すること。

提案手法

• math.QA/9812107 で定義された正則冪零元の量子類似物を用いて、量子ホイットカー・モジュールを構成する。
• ホイットカー・モデルを、量子群 U_h(g) の中心に適用し、古典的ケースを一般化する。
• Kostant の構成に類似した、U_h(b)（量子ボレル部分代数）内の可換部分代数を構成する。
• 表現論的手法を用いて、量子ホイットカー・モジュールの構造を分析する。
• 量子トーダ格子のためのコスタントの元来の証明を、変形量子群設定へと適応する。
• 量子群の構造を用いて、変形トーダ系の可積分性結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(g) の中心のコスタントのホイットカー・モデルをどのように量子群へと拡張できるか。
• RQ2 正則冪零元の量子類似物とは何か。また、それらはどのように量子ホイットカー・モジュールの構成を可能にするか。
• RQ3 ホイットカー・モデルを変形量子トーダ格子に適用し、その完全可積分性を証明できるか。
• RQ4 新しい量子ホイットカー・モジュールは、U_h(g) の表現論とどのように関係するか。
• RQ5 コスタントの古典的証明を、量子群設定へとどの程度まで適応できるか。

主な発見

• 量子群 U_h(g) の中心は、量子ボレル部分代数 U_h(b) 内の可換部分代数に同型であり、コスタントの古典的結果を一般化する。
• 量子ホイットカー・モジュールは、正則冪零元の量子類似物を用いて構成され、古典的ホイットカー・モジュールの変形を提供する。
• 新しいホイットカー・モデルにより、変形量子トーダ格子の完全可積分性に対する、コスタントの元来のアプローチに類似した新たな証明が得られる。
• この構成により、量子群の表現論と可積分系との間の直接的な関係が確立される。
• この手法により、量子代数に根ざした表現論的枠組みを用いて、Etingof の変形量子トーダ格子に関する結果が再現される。