[論文レビュー] Quantum Deformations of $τ$-functions, Bilinear Identities and Representation Theory

А. Миронов|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、普遍包あらゆる代数の最高重層表現における行列要素の生成関数として一般化された $τ$-関数を導入し、非可換な設定下でも双線形ヒロタ型恒等式（BI）を満たすことを示している。主な貢献は、$τ$-関数が非可換代数に値をとる量子群へ統一的可積分階層形式を拡張したことであり、$SL_q(2)$ および $SL(n)$ の基本表現を通じて具体例が提示されている。

ABSTRACT

This paper is a brief review of recent results on the concept of ``generalized $τ$-function'', defined as a generating function of all the matrix elements in a given highest-weight representation of a universal enveloping algebra ${\cal G}$. Despite the differences from the particular case of conventional $τ$-functions of integrable (KP and Toda lattice) hierarchies, these generic $τ$-functions also satisfy bilinear Hirota-like equations, which can be deduced from manipulations with intertwining operators. The main example considered in details is the case of quantum groups, when such $τ$-``functions'' are not $c$-numbers but take their values in non-commutative algebras (of functions on the quantum group $G$). The paper contains only illustrative calculations for the simplest case of the algebra SL(2) and its quantum counterpart $SL_q(2)$, as well as for the system of fundamental representations of SL(n).

研究の動機と目的

• KP や Toda 格子といった古典的可積分階層を超えて、任意の群や量子群へ $τ$-関数の概念を一般化すること。
• これらの一般化された $τ$-関数が、相互作用作用素から導かれる双線形ヒロタ型恒等式（BI）を満たすことを確立すること。
• 量子群のケースを検討し、$τ$-関数が非可換となる場合、特に $SL_q(2)$ および $SL(n)$ の基本表現においてどのように現れるかを明らかにすること。
• 最高重層表現と普遍包あらゆる代数を用いた $τ$-関数の群論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 普遍包あらゆる代数 $U(\mathcal{G})$ のヴェルマ加群 $V$ におけるすべての行列要素 $\langle \mathbf{k} | g | \mathbf{n} \rangle_V$ の生成関数として一般化された $τ$-関数を定義する。
• 時間順序指数関数の定義に、$q$-指数関数 $e_q(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{[n]!}$ を用い、ここで $[n] = \frac{q^n - q^{-n}}{q - q^{-1}}$ である。
• 真空期待値を用いて $τ$-関数を表現する：$\tau_V(t,\bar{t}|g) = \langle \mathbf{0} | \prod_{\alpha > 0} e_q(t_\alpha T_\alpha) \, g \, \prod_{\alpha > 0} e_q(\bar{t}_\alpha T_{-\alpha}) | \mathbf{0} \rangle_V$。
• 可換部分代数 $N(\mathcal{G})$ および $\bar{N}(\mathcal{G})$ の構造と相互作用作用素の操作を用いて、双線形恒等式（BI）を導出する。
• 非可換な $τ$-関数が量子群関数代数からどのように生じるかを示すために、$SL_q(2)$ 代数を具体例として提示する。
• $SL(n)$ の基本表現にこの枠組みを適用し、ミウァ変換およびフェルミオン的実現を介して既知の階層と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $τ$-関数の概念は、KP や Toda 格子といった古典的可積分系を超えて、任意のリ Lie 代数や量子群へ一般化可能か？
• RQ2 最高重層表現における行列要素の生成関数として定義された一般化された $τ$-関数は、双線形ヒロタ型恒等式を満たすか？
• RQ3 量子群の関数代数に値をとる非可換な $τ$-関数の量子変形は、どのように振る舞うか？
• RQ4 一般化された $τ$-関数形式と既知の可積分階層（例えば Toda 格子や Satsuma 階層）との関係は何か？
• RQ5 一般化された $τ$-関数枠組みは、レベルが1より大きい WZW 理論や多ループ代数を記述するために用いられるか？

主な発見

• 最高重層表現における行列要素の生成関数として定義された一般化された $τ$-関数は、相互作用作用素の技法から導かれる双線形ヒロタ型恒等式を満たす。
• 量子群 $SL_q(2)$ のようなケースでは、$τ$-関数は量子群上の非可換関数代数に値をとり、古典的な $c$-数の場合の拡張となる。
• 可換部分代数をもつネルポテン部分代数の上での基本表現に制限した場合、形式は標準的な可積分階層（例えば Toda 格子）に還元される。
• Satsuma 階層は、$q$-変形指数関数を用いた時間変数の再定義を介して、ミウァ変換された Toda 階層として実現され、$τ$-関数が関係づけられる。
• このアプローチは、$τ$-関数と双線形恒等式の群論的基礎を提供し、高レベルの WZW 理論や量子変形可積分系に応用可能である。
• この枠組みはフェルミオン的実現およびカレント代数と関連しており、$GL(\infty)$ および $J_n$ カレントは階層の自由フェルミオン表現を提供する。