[論文レビュー] Quantum deformed algebras : Coherent states and special functions

J. D. Bukweli-Kyemba, Mahouton Norbert Hounkonnou|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 63被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$q$-および$(p,q)$-変形を統一的かつ拡張する一般化された${\cal R}(p,q)$-変形ヘイゼンベルク代数を導入し、新たなコherent状態、超幾何級数、および${\cal R}(p,q)$-変形ロジャース＝シュエグ多項式や連続的ヘルミート多項式などの特殊関数の構成を可能にする。この枠組みは既知の結果を一般化し、ホップ代数構造を提供し、非可換設定における微分・積分の計算体系を拡張する。

ABSTRACT

The Heisenberg algebra is first deformed with the set of parameters ${q, l, λ}$ to generate a new family of generalized coherent states. In this framework, the matrix elements of relevant operators are exactly computed. A proof on sub-Poissonian character of the statistics of the main deformed states is provided. This property is used to determine a generalized metric. A unified method of calculating structure functions from commutation relations of deformed single-mode oscillator algebras is then presented. A natural approach to building coherent states associated to deformed algebras is deduced. Known deformed algebras are given as illustration. Futhermore, we generalize a class of two-parameter deformed Heisenberg algebras related to meromorphic functions, called ${\cal R}(p,q)$-deformed algebra. Relevant families of coherent states maps are probed and their corresponding hypergeometric series are computed. The latter generalizes known hypergeometric series and gives to a generalization of the binomial theorem. The involved notions of differentiation and integration generalize the usual $q$- and $(p,q)$-differentiation and integration. A Hopf algebra structure compatible with the ${\cal R}(p,q)$-algebra is deduced. We succeed in giving a new characterization of Rogers- Szegö polynomials, called ${\cal R}(p,q)$-deformed Rogers-Szegö polynomials, by their three-term recursion relations and the associated quantum algebra built with corresponding creation and annihilation operators. Continuous ${\cal R}(p,q)$-deformed Hermite polynomials and their recursion relation are also deduced. Novel algebraic relations are provided and discussed. The whole formalism is performed in a unified way, generalizing known relevant results which are straightforwardly derived as particular cases.

研究の動機と目的

• パrameter $\{q, l, \lambda\}$ を用いてヘイゼンベルク代数を一般化し、新たな一般化されたcoherent状態の族を構成すること。
• 変形単モード振動子代数の交換関係から構造関数を導出する統一的手法を開発すること。
• メロモルフィック関数に関連する2パラメータ変形ヘイゼンベルク代数を一般化し、${\cal R}(p,q)$-変形特殊関数を導くこと。
• $q$-および$(p,q)$-計算を、ホップ代数の性質と整合する新しい代数的構造を介して非可換枠組みに拡張すること。
• ${\cal R}(p,q)$-変形ロジャース＝シュエグおよびヘルミート多項式を定義し、完全に特徴づけること。これには再帰関係と母関数が含まれる。

提案手法

• パrameter $\{q, l, \lambda\}$ を用いて標準ヘイゼンベルク代数を変形し、クラウダー基準を満たす一般化されたcoherent状態を生成する。
• 関連演算子の行列要素を導出し、主な変形状態におけるサブポisson的統計を証明し、一般化された計量の定義を可能にする。
• 変形振動子代数の交換関係から直接構造関数を決定する統一的形式的枠組みを構築する。
• ${\cal R}(p,q)$-変形代数を、メロモルフィック関数に関連する2パラメータ変形ヘイゼンベルク代数の一般化として導入する。
• 新しい超幾何級数と${\cal R}(p,q)$-二項定理を定義し、既知の$(p,q)$-級数の一般化とする。
• 新しい演算子$\partial_{p,q,h}^{\mu,\nu}$および関連演算子を定義することで非可換微分・積分計算体系を確立し、整合的なホップ代数構造を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $\{q, l, \lambda\}$ を用いてヘイゼンベルク代数をどのように変形し、サブポisson的統計を示す一般化されたcoherent状態を生成できるか？
• RQ2 変形単モード振動子代数の交換関係から構造関数を導出する一般化された方法は何か？
• RQ3 ${\cal R}(p,q)$-変形代数は、既知の$q$-および$(p,q)$-変形を統一的かつ拡張するようにどのように構成できるか？
• RQ4 新たに定義された${\cal R}(p,q)$-変形ロジャース＝シュエグおよびヘルミート多項式の性質と再帰関係は何か？
• RQ5 ${\cal R}(p,q)$-代数枠組み内で非可換計算（微分および積分を含む）をどのように一般化できるか。また、これと整合するホップ代数構造は何か？

主な発見

• パrameter $\{q,l,\lambda\}$ を用いて変形されたヘイゼンベルク代数から構成された一般化されたcoherent状態は、サブポisson的統計を示し、非古典的性質を確認するとともに、系の幾何学における一般化された計量の定義を可能にする。
• 変形振動子代数の交換関係から直接構造関数を導出する統一的枠組みが確立され、既知の結果を一般化し、coherent状態の体系的構成を可能にする。
• ${\cal R}(p,q)$-変形超幾何級数が導入され、既知の$(p,q)$-超幾何級数を一般化することが示され、特別な場合として新しい${\cal R}(p,q)$-二項定理が得られる。
• ${\cal R}(p,q)$-変形ロジャース＝シュエグ多項式は、三項再帰関係と差分方程式を含め、完全に特徴づけられ、標準的および$q$-変形版を一般化する。
• 連続的${\cal R}(p,q)$-変形ヘルミート多項式は、$\mathbb{H}_n(\cos\theta; p,q,\mu,\nu,h)$を介して定義され、$p$-および$q$-変形パラメータを含む三項再帰関係を満たす。
• ${\cal R}(p,q)$-代数と整合するホップ代数構造が明示的に構築され、非可換幾何学および量子群への枠組みの拡張が可能になる。