[論文レビュー] Quantum differential surfaces of higher genera

Pierre Bieliavsky|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲平面 $\mathbb{D}$ 上のシュワーツ空間 $S(\mathbb{D})$ 上に、標準的ケーラー形式を介して点乗積を変形する、$SL(2,\mathbb{R})$-不変なスター積 $\sharp_\theta$ の族を構成する。この構成は、コンパクトなリーマン面 $\Sigma_\Gamma = \Gamma\backslash\mathbb{D}$ に拡張され、$C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ 上にフレシェ代数構造をもたらし、前-$C^*$ かつ連続トレースを有する。

ABSTRACT

We first construct a real family of $SL(2,\mathbb{R})$-invariant symbol composition product $\{\sharp_θ\}_{θ\in,\mathbb{R}}$ on the analogue of the Schwartz space $S(\mathbb{D})$ on the hyperbolic plane $\mathbb{D}\;:=\;SL(2,\mathbb{R})/SO(2)$. The value $θ=0$ consists in the pointwise commutative product of functions on $\mathbb{D}$. And admits an asymptotic expansion that deforms the pointwise product in the direction of the canonical $SL(2,\mathbb{R}) $-invariant Kahler two form on $\mathbb{D}$. We then extend this construction to any (non-homogeneous) compact surface by considering the left action of an arithmetic Fuschian group $Γ\subset SL(2,\mathbb{R})$ on $\mathbb{D}$ with associated Riemann surface $Σ_Γ\;:=\;Γ\backslash\mathbb{D}$. More precisely, the product $\sharp_θ$ extends from $S(\mathbb{D})$ to a smooth $SL(2,\mathbb{R})$- sub-module of $C^\infty(\mathbb{D})$ that contains the $Γ$-invariants $C^\infty(\mathbb{D})^Γ\simeq C^\infty(Σ_Γ)$ in $C^\infty(\mathbb{D})$. In particular, $\sharp_θ$ defines a Fréchet algebra structure on $C^\infty(Σ_Γ)$. The resulting algebra is pre - $C^\ast$ and admits a continuous trace.

研究の動機と目的

• 高 genus の双曲的リーマン面における滑らかな関数の変形量子化を、$SL(2,\mathbb{R})$-不変構造を用いて定義すること。
• シュワーツ空間 $S(\mathbb{D})$ 上の記号合成積 $\sharp_\theta$ を、$\mathbb{D}$ 上の $\Gamma$-不変な滑らかな関数の空間へと拡張し、$C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ に同型であることを特定すること。
• $\sharp_\theta$ が $C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ 上にフレシェ代数構造を誘導することを確立し、前-$C^*$ かつ連続トレースを有することを示すこと。
• 量子微分構造を用いて、高 genus のリーマン面に非可換幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• シュワーツ空間 $S(\mathbb{D})$ 上に、$\theta = 0$ が可換な点乗積に対応する、$SL(2,\mathbb{R})$-不変な記号合成積 $\sharp_\theta$ の実数パラメータ族を構成する。
• 双曲平面 $\mathbb{D}$ 上の標準的 $SL(2,\mathbb{R})$-不変ケーラー2形式を用いて、$\theta \to 0$ の極限における点乗積の漸近的変形を定義する。
• $\sharp_\theta$ を $S(\mathbb{D})$ から、$\Gamma$-不変関数 $C^\infty(\mathbb{D})^\Gamma \simeq C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ を含む、$C^\infty(\mathbb{D})$ の滑らかな $SL(2,\mathbb{R})$-部分加群へと拡張する。
• 算術的フクシアン群 $\Gamma \subset SL(2,\mathbb{R})$ の作用を用いて $\mathbb{D}$ を商することで、高 genus のコンパクトなリーマン面 $\Sigma_\Gamma$ を得る。
• $\sharp_\theta$ が $C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ 上にフレシェ代数構造を誘導することを証明し、積が連続的かつ群作用と両立することを示す。
• $\sharp_\theta$ が誘導する代数が前-$C^*$ であり、連続トレースを有することを示し、$C^*$-代数的枠組みと整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲平面 $\mathbb{D}$ 上に、記号合成積を用いて $SL(2,\mathbb{R})$-不変な変形量子化をどのように構成できるか。
• RQ2 $\theta \to 0$ のときの積 $\sharp_\theta$ の漸近的挙動は何か。また、$\mathbb{D}$ 上の標準的ケーラー形式とどのように関係するか。
• RQ3 算術的フクシアン群 $\Gamma$ に対して、$S(\mathbb{D})$ 上の $\theta$-積を、$\mathbb{D}$ 上の $\Gamma$-不変な滑らかな関数の空間へと拡張できるか。
• RQ4 $\sharp_\theta$ を $C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ 上に拡張した場合、フレシェ代数としての望ましい解析的性質が得られるか。
• RQ5 $C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ 上の結果の代数は前-$C^*$ であり、連続トレースを有するか。

主な発見

• $\sharp_\theta$ は、$S(\mathbb{D})$ 上の点乗積の変形を定義し、その漸近的挙動は $\mathbb{D}$ 上の標準的 $SL(2,\mathbb{R})$-不変ケーラー2形式によって支配される。
• $\theta$-積は、$S(\mathbb{D})$ から、$\Gamma$-不変関数 $C^\infty(\mathbb{D})^\Gamma \simeq C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ を含む、$C^\infty(\mathbb{D})$ の滑らかな $SL(2,\mathbb{R})$-部分加群へと拡張可能である。
• $\sharp_\theta$ を $C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ に制限することで、滑らかな位相と整合するフレシェ代数構造が付与される。
• $C^\infty(\Sigma_\Gamma)$ 上の結果のフレシェ代数は前-$C^*$ であり、$C^*$-代数的枠組みと整合することが保証される。
• この代数は連続トレースを有しており、非可換幾何学および指数理論への応用において重要な解析的性質を満たす。
• 本構成により、$SL(2,\mathbb{R})$-不変な変形量子化を用いて、高 genus のコンパクトなリーマン面上に量子微分構造が提供される。