[論文レビュー] Quantum Diffusion, Measurement and Filtering

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Oct 4, 2005

Quantum Mechanics and Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、連続非破壊測定下での量子拡散過程の非可換確率的枠組みを構築し、ガウス系に対してカルマン＝ブチャト型の線形量子確率的フィルタ方程式を導出する。主な貢献は、非可換確率的微分方程式と演算子リッカティ方程式によって記述される量子相関の事後的状態ダイナミクスの導出であり、古典的マルコフ型フィルタリングを量子領域に一般化し、自由粒子の座標観測に対して明示的な解が得られることである。

ABSTRACT

A brief presentation of the basic concepts in quantum probability theory is given in comparison to the classical one. The notion of quantum white noise, its explicit representation in Fock space, and necessary results of noncommutative stochastic analysis and integration are outlined. Algebraic differential equations that unify the quantum non Markovian diffusion with continuous non demolition observation are derived. A stochastic equation of quantum diffusion filtering generalising the classical Markov filtering equation to the quantum flows over arbitrary *-algebra is obtained. A Gaussian quantum diffusion with one dimensional continuous observation is considered.The a posteriori quantum state difusion in this case is reduced to a linear quantum stochastic filter equation of Kalman-Bucy type and to the operator Riccati equation for quantum correlations. An example of continuous nondemolition observation of the coordinate of a free quantum particle is considered, describing a continuous collase to the stationary solution of the linear quantum filtering problem found in the paper.

研究の動機と目的

• 非可換確率空間における連続的測定および拡散過程のための量子確率的微分計算の枠組みを構築すること。
• 代数的微分方程式を通じて、量子非マルコフ的拡散と連続非破壊観測を統一すること。
• 非可換*-代数上での確率的微分方程式を用いて、古典的マルコフ型フィルタリングを任意の*-代数へ一般化すること。
• 1次元連続観測下での線形量子拡散における事後的状態進化の明示的解を導出すること。
• 連続的観測が定常状態への自発的局在化を引き起こすことを示し、量子ゼノー効果のパラドックスを解消すること。

提案手法

• フォック空間表現を用いて量子ホワイトノイズを定義し、生成・消滅演算子を介して非可換確率的積分を構成する。
• フォック空間の帰納的極限における量子伊藤微分方程式を用いて、非正規化事後状態のための量子確率的微分方程式を導出する。
• 非適応伊藤公式を適用し、局所的に平方可積分な演算子関数を持つ*-代数値量子確率的過程を構成する。
• 可測な演算子値関数による時間積分を扱うために、量子確率的積分作用素 $ \imath_{0}^{t}(F,D) = \widehat{a}_{t}^{*}(F) + \widehat{a}_{t}(D) $ を導入する。
• 量子確率的積分の有界性と連続性を、$ \mathcal{H}_\xi $ の帰納的スケール上で確立し、適切に定義されたダイナミクスを保証する。
• 線形量子確率的フィルタ方程式とガウス系における量子相関のための演算子リッカティ方程式を用いて、フィルタリング問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子拡散と連続非破壊測定を、非可換確率的微分計算の枠組み内でどのように統合できるか？
• RQ2 古典的カルマン＝ブチャトフィルタを非可換*-代数へ一般化する量子確率的フィルタ方程式の形は何か？
• RQ3 連続的観測がどのように自発的局在化または定常状態への崩壊を引き起こすか？ これにより量子ゼノー効果のパラドックスはどのように解消されるか？
• RQ4 1次元連続観測下での線形量子拡散における事後的量子状態進化の構造は何か？
• RQ5 連続測定下で量子相関はどのように進化するか？ そのダイナミクスを記述する方程式は何か？

主な発見

• 事後的量子状態進化は、任意の*-代数値量子フローに対して有効なカルマン＝ブチャト型の線形量子確率的フィルタ方程式に従う。
• 量子相関のダイナミクスは、古典的共分散進化を一般化する演算子リッカティ方程式によって記述される。
• 自由量子粒子が連続座標観測を受けている場合、系は定常状態へ収束し、量子ゼノー効果のパラドックスが解消される。
• 解はフォック空間における量子確率的積分を用いて構成され、演算子関数の $ L^p $-可積分性条件により有界性が保証される。
• 非適応伊藤計算と帰納的極限構成を用いることで、古典的マルコフ型フィルタリングを非可換代数へ拡張する枠組みが確立される。
• ガウス量子拡散の場合に明示的解が得られ、従来の線形マルコフ型フィルタリング結果と整合性が確認される。