[論文レビュー] Quantum diffusion of the random Schrodinger evolution in the scaling limit

László Erdős, Manfred Salmhofer+1 more|ArXiv.org|Dec 6, 2005

advanced mathematical theories被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ d \geq 3 $ における弱い結合限界で、ランダムシュレーディンガー方程式から量子拡散を初めて厳密に導出する。フェルミン図の位相キャンセレーションを解析する新しいべき乗則改善（$ \lambda^c $）を非ラダーダイアグラムに適用することで、解のウィグナー分布が弱収束して熱方程式の解に収束することを証明し、スケーリング限界における量子拡散を確認した。

ABSTRACT

We consider random Schrödinger equations on $\bR^d$ for $d\ge 3$ with a homogeneous Anderson-Poisson type random potential. Denote by $λ$ the coupling constant and $ψ_t$ the solution with initial data $ψ_0$. The space and time variables scale as $x\sim λ^{-2 -κ/2}, t \sim λ^{-2 -κ}$ with $0< κ< κ_0(d)$. We prove that, in the limit $λ o 0$, the expectation of the Wigner distribution of $ψ_t$ converges weakly to the solution of a heat equation in the space variable $x$ for arbitrary $L^2$ initial data. The proof is based on analyzing the phase cancellations of multiple scatterings on the random potential by expanding the propagator into a sum of Feynman graphs. In this paper we consider the non-recollision graphs and prove that the amplitude of the {\it non-ladder} diagrams is smaller than their "naive size" by an extra $λ^c$ factor {\em per non-(anti)ladder vertex} for some $c > 0$. This is the first rigorous result showing that the improvement over the naive estimates on the Feynman graphs grows as a power of the small parameter with the exponent depending linearly on the number of vertices. This estimate allows us to prove the convergence of the perturbation series.

研究の動機と目的

• 弱い結合限界で $ d \geq 3 $ の場合に、ランダムシュレーディンガー方程式から量子拡散を厳密に導出すること。
• スケーリング限界において、解のウィグナー分布が熱方程式の解に弱収束することを確立すること。
• 非ラダーフェルミン図が、その素朴なサイズよりも $ \lambda $ のべき乗で小さくなることを証明し、非-(反)ラダーバーテックスごとに $ \lambda^c $ の改善を得ること。
• 伝搬関数の体系的展開を通じて、ランダムポテンシャルにおける多重散乱効果を制御すること。
• スケーリング $ x \sim \lambda^{-2-\kappa/2}, t \sim \lambda^{-2-\kappa} $ において、$ 0 < \kappa < \kappa_0(d) $ の下で摂動級数の収束を検証すること。

提案手法

• 多重散乱をランダムポテンシャル上で解析するために、量子伝搬関数をフェルミン図の和に展開する。
• 非ラダーダイアグラムが、非-(反)ラダーノードごとに $ \lambda^c $ 因子で抑制されることを示すために位相キャンセレーション解析を適用する（$ c > 0 $）。
• リゾルベント展開を用いて $ \omega(p) $ を $ e(p) $ に置き換え、スペクトル解析を単純化しながらも境界を保存する。
• 共面積公式とホルダー連続性を用いて、$ \alpha - e(p) + i\eta $ および $ \beta - e(p+q) + i\eta $ を含む積分に対して一様な境界を確立する。
• 共面積公式と表面測度の推定を用いて、$ p $-空間積分における特異性を制御する。
• 指定されたスケーリング下で摂動級数の収束を保証する、全体的な $ \lambda $-パワー推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムシュレーディンガー方程式の解のウィグナー分布は、スケーリング限界 $ \lambda \to 0 $ において、空間変数 $ x $ で弱収束して熱方程式の解に収束するか？
• RQ2 非ラダーフェルミン図の振幅が、その素朴な推定値よりも結合定数 $ \lambda $ のべき乗で小さくなることが示せるか？
• RQ3 非ラダーダイアグラムの振幅における正確なべき乗則改善は何か？また、これは頂点数に依存するか？
• RQ4 弱い結合スケーリング $ \lambda \to 0 $ の下で、ランダムシュレーディンガー進化の摂動級数は収束するか？
• RQ5 多重散乱過程における位相キャンセレーションは、量子系の長時間挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 解のウィグナー分布の期待値は、スケーリング限界 $ \lambda \to 0 $ において、空間変数 $ x $ で熱方程式の解に弱収束する。
• 非ラダーフェルミン図は、非-(反)ラダーノードごとに $ \lambda^c $ 因子で抑制され、素朴な推定値よりも高いべき乗則改善が得られる（$ c > 0 $）。
• 振幅推定における全体的な $ \lambda $-パワーは、$ \lambda^{\frac{1}{3} - (1 + \frac{3}{2}d)\kappa - O(\delta)} $ で下から抑えられる。これは $ \kappa < \frac{2}{6 + 9d} $ かつ $ \delta $ が十分に小さい場合に正である。
• スケーリング $ x \sim \lambda^{-2-\kappa/2}, t \sim \lambda^{-2-\kappa} $ において、$ 0 < \kappa < \kappa_0(d) $ の下で摂動級数は収束する。ここで $ \kappa_0(d) $ は次元 $ d \geq 3 $ に依存する。
• 任意の $ L^2 $ 初期データに対して結果が成り立つため、このモデルにおける量子拡散の普遍性が確認された。
• 解析により、ランダム環境における量子拡散と古典的熱伝導の間の厳密な関係が確立され、アインシュタインのブラウン運動の図像が量子領域に拡張された。