[論文レビュー] Quantum discord for two-qubit CS states: Analytical solution

M. A. Yurishchev|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Quantum Information and Cryptography被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アダマールゲートを用いた普遍的な局所的直交変換により、任意の2キュービット中心対称（CS）密度行列をX型密度行列に写像することを確立し、既知のX状態に対する公式を用いてすべてのCS状態の量子対角化を解析的に計算可能にする。主な貢献は、XXZスピン鎖、ナノポーレに閉じ込められたスピンを有する粒子、および擬似純粋状態を含む物理系に適用可能な、CS状態における量子対角化の一般解析的解法の確立である。

ABSTRACT

We found an universal local unitary (orthogonal) transformation which transforms any centrosymmetric (CS) density matrix ρ_{CS} into the X density matrix ρ_X: H\otimes Hρ_{CS}H\otimes H=ρ_X, where H is the Hadamard transformation. Because quantum discord is invariant under the local unitary transformations, this remarkable property allows to get the discord of general two-qubit CS states in the analytical form using the corresponding well-known formulas for the X states. Examples of systems with CS density matrices provided from the recent literature, including XXZ spin model with the Dzyaloshinsky-Moriya interaction, a gas of spin-carrying particles in closed nanopore, and a family of pseudopure states.

研究の動機と目的

• 2キュービット中心対称（CS）密度行列における量子対角化を計算する一般的解析的手法の開発を目的とする。
• 量子対角化は通常X状態に対してのみ解析的に計算可能であるが、一般のCS状態に対しては困難であるという課題に取り組む。
• CS状態をX状態に写像する普遍的な局所的直交変換を確立し、対角化値を保存することを目的とする。
• XXZスピンモデルにDzyaloshinsky-Moriya相互作用を含む系、ナノポーレに閉じ込められたスピン粒子、および擬似純粋状態といった物理系への応用を目的とする。
• これらの物理的に重要な系における量子対角化の正確な解析的表現を提供することを目的とする。

提案手法

• 任意の2キュービットCS密度行列 $ \rho_{CS} $ をX状態 $ \rho_X $ に写像するため、アダマール変換 $ H \otimes H $ を用いる。$ H\otimes H \rho_{CS} H\otimes H = \rho_X $ が成り立つ。
• 量子対角化が局所ユニタリ操作に対して不変であることを活用し、$ Q(\rho_{CS}) = Q(\rho_X) $ が成り立つ。これにより、X状態に対する既存の解析的公式が利用可能になる。
• X状態のパラメータを、CS状態のパラメータを用いて明示的な代数的関係式で表現する（例：$ q_1 = \frac{1}{4} + p_2 + p_4 + \frac{1}{2}(p_6 + p_7) $）。
• 物理モデルへの適用：XXZスピン鎖にDzyaloshinsky-Moriya相互作用を含む系およびナノポーレ内のスピン粒子に対するX形密度行列を導出する。
• X状態の虚数部を含む非対角項を除去するために、追加の局所ユニタリ回転（例：$ U = \exp(-i\varphi \sigma_z/2) $）を用い、実数X状態に還元する。これにより、対角化公式が最も単純化される。
• 実数X状態における対角化の既知の解析的公式を用い、$ Q = \min\{Q_1, Q_2\} $ を計算する。ここで $ Q_1 $ と $ Q_2 $ は、密度行列の固有値およびフォン・ノイマンエントロピーを用いて定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X型でない2キュービット中心対称（CS）密度行列に対し、量子対角化を解析的に計算できるか？
• RQ2 任意のCS状態をX状態に写像する普遍的な局所変換が存在し、量子対角化値を保存するか？
• RQ3 X状態における解析的対角化公式を、CS密度行列で記述される物理系にどのように拡張できるか？
• RQ4 閉じたナノポーレに閉じ込められたスピン粒子のガスにおける量子対角化の挙動はいかなるものか？
• RQ5 本手法は擬似純粋状態に適用可能か？その場合の対角化式はどのようなものか？

主な発見

• アダマール変換 $ H \otimes H $ により、任意の2キュービットCS状態がX状態に写像され、両クラス間の1対1対応が確立される。
• 量子対角化がこの変換に対して不変であるため、$ Q(\rho_{CS}) = Q(\rho_X) $ が成り立ち、すべてのCS状態の対角化が解析的に計算可能になる。
• Dzyaloshinsky-Moriya相互作用を含むXXZスピンモデルでは、変換後の密度行列はX形 $ \rho' $ をとるため、正確な対角化評価が可能になる。
• $ N=20 $ 個の粒子と $ \beta=1 $ のナノポーレモデルでは、量子対角化は時間とともに振動し、$ p=u=0 $、$ r=q=\frac{1}{8}\tanh^2(\beta/2) $ のとき $ Q \approx 0.15 $ に飽和する。
• 擬似純粋状態 $ \rho_{PP} = \alpha|\psi\rangle\langle\psi| + \frac{1-\alpha}{4}I $ において、$ |\psi\rangle $ が $ a(|00\rangle + |11\rangle) + b(|01\rangle + |10\rangle) $ の形のとき、状態はCSであり、提案手法により解析的に対角化が計算可能である。
• ナノポーレ系における最終的な対角化式は $ Q = \min\{Q_1, Q_2\} $ であり、$ Q_1 $ と $ Q_2 $ は局所回転により $ xy $ 項を除去した実数X状態の固有値およびエントロピーを用いて定義される。