[論文レビュー] Quantum Discrete Fourier Transform with Classical Output for Signal Processing

Chao-Yang Pang, Ben-Qiong Hu|ArXiv.org|Jun 17, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、古典的出力を備えた1次元および2次元離散フーリエ変換（QDFT）のための量子アルゴリズムを提案し、それぞれ時間計算量 $O(\sqrt{N})$ および $O(N)$ を達成している。これは古典的FFTよりも顕著に高速である。量子アモニチュードアンプリフィケーションを活用し、信号の冗長性を活用することで、実用的な古典的出力を備えた効率的な信号処理が可能になる。

ABSTRACT

Discrete Fourier transform (DFT) is the base of modern signal or information processing. 1-Dimensional fast Fourier transform (1D FFT) and 2D FFT have time complexity O(NlogN) and O(N^2logN) respectively. Quantum 1D and 2D DFT algorithms with classical output (1D QDFT and 2D QDFT) are presented in this paper. And quantum algorithm for convolution estimation is also presented in this paper. Compared with FFT, QDFT has two advantages at least. One of advantages is that 1D and 2D QDFT has time complexity O(sqrt(N)) and O(N) respectively. The other advantage is that QDFT can process very long signal sequence at a time. QDFT and quantum convolution demonstrate that quantum signal processing with classical output is possible.

研究の動機と目的

• 古典的出力を生成する1次元および2次元DFTのための量子アルゴリズムを設計し、実用的な信号処理を可能にする。
• 標準的なQFTの制限、すなわち古典的信号応用に不適切な量子状態を出力する点を克服する。
• 多くのDFT係数が小さいという信号の冗長性を活用し、選択的処理により計算を高速化する。
• アモニチュードアンプリフィケーションと量子ローディングを用いて、古典的出力を備えた量子信号処理の実現可能性を示す。
• フーリエ領域における畳み込み定理を活用して、量子畳み込み推定へのフレームワークの拡張を図る。

提案手法

• 大きなDFT係数を強調するため、修正されたグローバー法（アモニチュードアンプリフィケーション）を用い、顕著な成分の効率的抽出を実現する。
• 古典的信号データを量子重ね合わせ状態に符号化するための量子ローディングユニタリ $U_L$ を採用する。
• フーリエ基底ベクトルと入力信号の間の内積 $\overrightarrow{W_i} \cdot \overrightarrow{x}$ を計算するための制御操作を適用する。
• 2段階の量子反復を実装する：まず顕著なDFT係数を特定し、次にアモニチュードアンプリフィケーションを用いてその値を計算する。
• 2次元QDFTでは、行と列の分離処理と制御されたエンタングルメントを用いて、1次元手法を行列演算へ拡張する。
• 計算負荷を軽減するため、しきい値関数 $f'(i,j)$ を用いて、指定されたエネルギー範囲 $[\alpha, \beta]$ 内の係数のみを選択する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、古典的出力を備えながらも、古典的FFTよりも高速なDFT計算を達成できるか？
• RQ2 量子アモニチュードアンプリフィケーションをどのように変更すれば、量子重ね合わせ状態から意味のあるDFT係数を抽出できるか？
• RQ3 信号の冗長性（例えばスパースなDFT係数）をどれだけ活用すれば、量子計算時間の短縮が可能になるか？
• RQ4 量子DFTと畳み込み定理を用いて、量子畳み込み推定を実行するのは現実的か？
• RQ5 古典的出力を備えた量子DFTアルゴリズムの時間計算量は、古典的FFTと比較してどの程度か？

主な発見

• 1次元QDFTは時間計算量 $O(\sqrt{N})$ を達成しており、これは古典的1次元FFTの $O(N\log N)$ と比べて指数的に高速である。
• 2次元QDFTは時間計算量 $O(N)$ を達成しており、これは古典的2次元FFTの $O(N^2\log N)$ と比べて顕著に高速である。
• 量子重ね合わせのおかげで、非常に長い信号列を1回の実行で処理でき、大規模な並列処理が可能になる。
• 信号の冗長性を活用し、大きな絶対値を持つDFT係数にのみ注目することで、計算量を削減しながらも高い精度を維持できる。
• 畳み込み定理を活用し、$DFT(\vec{u})$、$DFT(\vec{v})$ を計算し、フーリエ領域で乗算した後、逆DFTを適用することで、量子畳み込み推定が可能になる。
• 本手法は、現実的な信号条件のもとで、古典的出力を備えた量子信号処理が実現可能で効率的であることを示している。