[論文レビュー] Quantum Double of Yangian of Lie Superalgebra $A(m,n)$ and computation of Universal $R$-matrix

Vladimir Stukopin|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ヤングアンのリースーパ algebra $A(m,n)$ の量子ダブルの普遍 R-行列に対する明示的な因数分解公式を、コホーシキンとトレストイのヤンガンドライの研究にインspiredした方法により導出する。普遍 R-行列は、正ルート、カルタン生成子、負ルートに対応する3つの順序付き無限指数関数の積として表現され、ルート系およびカシミール作用素に明示的な依存関係を示し、既知の結果をスーパ代数の場合に拡張する。

ABSTRACT

Yangian Double $DY(A(m,n))$ of Lie Superalgebra $A(m,n)$ is described in terms of generators and defining relations. It is proved triangular decomposition for Yangian $Y(A(m,n))$ and its quantum double $DY(A(m,n))$ as a corollary of PBW theorem. It is introduced the normally ordered bases in Yangian and its dual Hopf superalgebra in quantum double. It is calculated the pairing formulas between the elements of its bases. It is received the formula of Universal $R$-matrix of Yangian Double. The formula for Universal $R$-matrix of Yangian, which was introduced by V. Drinfel'd, is received also.

研究の動機と目的

• ヤンガンドライ $A(m,n)$ リー超代数の量子ダブル $DY(A(m,n))$ を生成子と関係式の観点から構成すること。
• シフト作用素とルート系の分解に基づく体系的な手法を用いて、$DY(A(m,n))$ の普遍 R-行列を計算すること。
• 単純リー代数に対する既知の普遍 R-行列の乗法的公式を、特に $A(m,n)$ のスーパ代数の場合に拡張すること。
• 一般構成の特別な場合として、$Y(\frak{sl}_2)$ の普遍 R-行列の明示的公式を提示すること。

提案手法

• リー超代数 $\frak{g}=A(m,n)$ に対するヤンガンドライ $Y(\frak{g})$ の量子ダブル $DY(\frak{g})$ は、ドリンフェルトのアプローチに従い、生成子と関係式から構成される。
• 普遍 R-行列は、正ルート、カルタン生成子、負ルートに対応する3つの成分 $R_+(\theta)$, $R_0(\theta)$, $R_-(\theta)$ に分解される。
• $R_+$ および $R_-$ 成分は、ルートベクトル $e_\beta$, $e_{-\beta}$ および構造定数を含む、順序付き無限積の指数関数として表現され、係数はルートの順序および二項係数に依存する。
• $R_0$ 成分は、カルタン生成子の母関数に作用するシフト作用素を用いて導出され、$T_\theta$ はスピンパラメータのシフトを表す。
• 本構成は、コホーシキンとトレストイのヤンガンドライダブルに関する技術を適応し、作用素 $t^\theta$ を通じてアフィンワイル群要素の類似を統合する。
• 最終的な公式は、普遍 R-行列に $\mathrm{id} \otimes T_\theta$ を作用させることで得られ、元のヤンガンドライの普遍 R-行列が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤンガンドライのリー超代数 $A(m,n)$ の量子ダブルを、生成子と関係式の観点から明示的に記述することは可能か？
• RQ2 量子ダブル $Y(A(m,n))$ の普遍 R-行列の構造はいかなるものか？
• RQ3 シフト作用素を用いて、$Y(A(m,n))$ の普遍 R-行列をその量子ダブルのものからどのように導出できるか？
• RQ4 ヤンガンドライ $A(m,n)$ の普遍 R-行列の明示的な因数分解形は、ルート系および二項係数の観点からどのように表されるか？
• RQ5 既知の $Y(\frak{sl}_2)$ の普遍 R-行列の公式が、一般構成の特別な場合として回復可能か？

主な発見

• 量子ダブル $DY(A(m,n))$ の普遍 R-行列は、$R(\theta) = R_+(\theta) R_0(\theta) R_-(\theta)$ として明示的に構成され、各成分が順序付き無限指数関数積として表現される。
• $R_+(\theta)$ および $R_-(\theta)$ 成分は、$\overrightarrow{\prod}_{\beta \in \Xi_+} \exp\left( -(-1)^{\theta(\beta)} a(\beta) \sum_{k=0}^\infty (-1)^k C^{\text{ord}(\beta)-1}_{k+\text{ord}(\beta)-1} (e_\beta \otimes e_{-\beta + (\text{ord}(\beta)+k)\delta}) \theta^{-\text{ord}(\beta)-k-1} \right)$ で与えられ、$R_-$ に対しても同様に表される。
• $R_0(\theta)$ 成分は、$n \geq 0$ の積として、カルタン生成子の母関数の微分と構造定数を含む指数関数の積として表現される。
• $\frak{sl}_2$ の特別な場合において、普遍 R-行列は簡略化された形で回復される：$R_+(\theta) = \overrightarrow{\prod}_{n \geq 0} \exp\left( \sum_{m=0}^k C^n_{k} (-1)^n e_n \otimes f_{k-n} \theta^{-k-1} \right)$、$R_-$ に対しても同様の式が成り立つ。
• シフト作用素 $T_\theta$ はカルタン生成子に $T_\theta(h_i^-(u)) = h_i^+(u + \theta)$ のように作用し、$R_0(\theta)$ の導出に寄与する。
• 最終的に、$Y(A(m,n))$ の普遍 R-行列の公式は $R(\theta) = R_+(\theta) R_0(\theta) R_-(\theta)$ として与えられ、各因子の明示的表現が得られ、因数分解構成が完成する。