[論文レビュー] Quantum Econophysics

Esteban Guevara Hidalgo|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子力学とゲーム理論の間の正確な類似性を確立することで、古典的・進化的・生物学的システムを理解するための量子力学的枠組みを提案する。ヴァン・ノイマン方程式、密度演算子、ヴァン・ノイマンエントロピーは、それぞれリプロダクター力学、混合状態、シャノンエントロピーの量子的類似物であることが示され、集団的福祉と最大エントロピーが均衡を表すシステムを統一的に記述可能となる。これは、自然そのものが量子原理に従う協力的ゲームとして機能している可能性を示唆する。

ABSTRACT

The relationships between game theory and quantum mechanics let us propose certain quantization relationships through which we could describe and understand not only quantum but also classical, evolutionary and the biological systems that were described before through the replicator dynamics. Quantum mechanics could be used to explain more correctly biological and economical processes and even it could encloses theories like games and evolutionary dynamics. This could make quantum mechanics a more general theory that we had thought. Although both systems analyzed are described through two apparently different theories (quantum mechanics and game theory) it is shown that both systems are analogous and thus exactly equivalents. So, we can take some concepts and definitions from quantum mechanics and physics for the best understanding of the behavior of economics and biology. Also, we could maybe understand nature like a game in where its players compete for a common welfare and the equilibrium of the system that they are members.

研究の動機と目的

• 古典的および生物学的システムを記述するため、量子力学とゲーム理論の間の正式な類似性を確立すること。
• 特に密度演算子とヴァン・ノイマン方程式を用いた量子形式主義が、進化的および経済的力学を記述できることを示すこと。
• 最大エントロピー状態が、個々の利益を超えて集団的福祉を表す均衡状態に対応することを示すこと。
• 統計力学、情報理論、ゲーム理論の概念を、量子枠組みの下で統一すること。
• 自然システム（生物学的および経済的を含む）が、均衡が集団的最適化を通じて達成される量子的類似ゲームとして振る舞うという仮説を提示すること。

提案手法

• 混合量子状態の統計的集合を表す密度演算子 ρ(t) = Σ p_i |Ψ_i(t)⟩⟨Ψ_i(t)| を用い、ゲーム理論における確率分布に類似するものとする。
• 量子集合の時間発展を記述するヴァン・ノイマン方程式 iℏ dρ/dt = [Ĥ, ρ] を適用し、進化的ゲームにおけるリプロダクター力学に類似するものとする。
• ヴァン・ノイマンエントロピー S = -Tr(ρ log ρ) を、情報理論およびゲーム理論的システムにおけるシャノンエントロピーの量子的類似物として特定する。
• ゲームにおける相対頻度を密度行列の対角成分にマッピングし、報酬を ⟨A⟩ = Tr(ρA) を通じて期待値として表現する。
• 集団的福祉の原則を用いる：システムの安定性は、個々の福祉よりも集団的福祉を最大化することに依存し、最大エントロピーと関連付ける。
• リプロダクター力学 dx_i/dt = [f_i(x) - ⟨f(x)⟩]x_i とヴァン・ノイマン方程式の間の形式的同等性を示し、正確な数学的同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学的形式主義は、正確な数学的類似性を通じて、古典的および進化的ゲームを記述できるか？
• RQ2 進化的ゲーム理論におけるリプロダクター力学の量子的類似物は何か？
• RQ3 密度演算子とヴァン・ノイマンエントロピーは、ゲーム理論的システムにおける統計的および情報理論的構造とどのように関係するか？
• RQ4 最大エントロピーが、集団的福祉に従うシステムの均衡状態としてどのように表れるか？
• RQ5 量子力学の原則は、生物学的・経済的・物理的システムの記述を、共通の枠組みで統一できるか？

主な発見

• ヴァン・ノイマン方程式 iℏ dρ/dt = [Ĥ, ρ] は、リプロダクター力学の量子的類似物であり、ゲームにおける混合戦略の時間発展方程式を提供する。
• 密度演算子 ρ(t) は、ゲーム理論における戦略の確率分布の量子的類似物として機能し、システムの測定可能なすべての情報を符号化する。
• ヴァン・ノイマンエントロピー S = -Tr(ρ log ρ) は、シャノンエントロピーの量子的類似物であり、システムの不確実性または情報量を表す。
• システムはエントロピーが最大化されたときに均衡に達し、これは資源の公平な分配と集団的福祉に対応するものであり、個々の最適化とは異なる。
• 量子力学とゲーム理論の間の数学的同等性は、すべてのゲーム—古典的・進化的・量子的—が、同じコアな量子形式主義（密度演算子、ヴァン・ノイマン方程式、ヴァン・ノイマンエントロピー）で記述可能であることを示唆する。
• 本稿は、自然がすべての構成要素がシステム全体の均衡を最大化するために行動する協力的ゲームとして解釈可能であり、量子系が最大エントロピーを求めるのと類似していると結論づける。