[論文レビュー] Quantum electrostatics, Gauss's law, and a product picture for quantum electrodynamics; or, the temporal gauge revised

Bernard S. Kay|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、静的電荷分布を記述する電磁的コherent状態の厳密な量子的基礎を確立し、内積の公式を導出し（以前の4πの誤りを是正）、物理的状態部分空間において演算子方程式としてガウスの法則が成り立つ、量子電磁力学（QED）の新しい積構造を提唱する。この枠組みは長年の時間的ゲージ量子化の問題を解決し、異なる電荷分布であっても総電荷が等しければ、それらの状態間に非ゼロの内積が存在する理由が、荷電物質と縦モード光子のもつれに起因することを示す。

ABSTRACT

We provide a theoretical foundation for the notion of the quantum coherent state of the electrostatic field of a static external charge distribution introduced in a 1998 paper and rederive formulae there for the inner products of a pair of such states. Contrary to what one might expect, these inner products are non-zero whenever the total charges of the two charge distributions are equal, even if the charge distributions themselves differ. We actually display two different frameworks for these same coherent states, in the second of which Gauss's law only holds in expectation value. We propose an experiment capable of ruling that out. The first framework leads to a 'product picture' for full QED -- i.e. a reformulation of standard QED in which it has a total Hamiltonian, arising as a sum of a free electromagnetic Hamiltonian, a free charged-matter Hamiltonian and an interaction term, acting on a 'physical subspace' of the full tensor product of charged-matter and electromagnetic-field Hilbert spaces. (The traditional Coulomb gauge formulation of QED isn't a product picture because, in it, the longitudinal part of the electric field is a function of the charged matter operators.) We do this for both Maxwell-Dirac and Maxwell-Schr\"odinger QED. For all states in the physical subspace of each of these systems, the charged matter is entangled with longitudinal photons and Gauss's law holds on the physical subspace as an operator equation; albeit the electric field operator and the Hamiltonian, while self-adjoint on the physical subspace, fail to be self-adjoint on the full tensor-product Hilbert space. Analogues of our coherent state inner products and of the product picture play a role in the author's matter-gravity entanglement hypothesis. Also, the product picture amounts to a temporal gauge quantization of QED which appears to be free from the difficulties of previous versions.

研究の動機と目的

• 電磁的コherent状態の量子電磁力学（QED）における厳密な理論的基盤を提供し、内積の公式に以前の4πの誤りを是正する。
• 同一の総電荷を持つが異なる電荷分布を持つコherent状態が、直感的な正規直交性の期待とは反して非ゼロの内積を持つというパラドックスを解消する。
• 物質と電磁場のセクターのテンソル積ヒルベルト空間としての全ヒルベルト空間を持つQEDの積構造を構築し、物理的状態部分空間でハミルトニアンが自己随伴であり、ガウスの法則が演算子方程式として成り立つようにする。
• ガウスの法則が期待値でのみ成り立つ（非自己随伴電場）フレームワークと、ガウスの法則が演算子方程式として成り立つ（非自己随伴ハミルトニアン）フレームワークの2つを区別し、前者を除外する実験を提案する。
• ディラック場および非相対論的荷電球系において、新規の積構造とカウルムゲージQEDが等価であることを示し、物質と縦モード光子のもつれを明らかにする。

提案手法

• 自由場の量子化を修正し、縦モード構造を含むことで、非力学的縦モード光子のフォック空間における量子状態として電磁的コherent状態を構築する。
• ガウスの法則が期待値でのみ成り立つ（非自己随伴電場）フレームワークと、ガウスの法則が演算子方程式として成り立つ（非自己随伴ハミルトニアン）フレームワークの2通りのアプローチを用いて、2つのコherent状態間の内積を導出する。
• 時間的ゲージにおける正準量子化を用い、全ハミルトニアンを自由電磁場、自由物質、相互作用項の和として定義し、テンソル積ヒルベルト空間の物理的状態部分空間上で作用させる。
• 物理的状態部分空間では電場演算子−˜πが自己随伴であるが、全テンソル積空間ではそうではないことを示し、物理的状態部分空間においてガウスの法則が演算子方程式として成り立つことを示す。
• ディラック場および非相対論的荷電球系において、状態および演算子の明示的写像を用いて、積構造とカウルムゲージQEDがユニタリ同値であることを示す。
• コherent状態の重ね合わせ状態における電場演算子の期待値を測定する実験的テストを提案し、ガウスの法則が期待値でのみ成り立つフレームワークを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の総電荷を持つが異なる電荷分布を持つ電磁的コherent状態が、直感的な正規直交性の期待とは反して非ゼロの内積を持つのはなぜか？
• RQ2 物理的状態部分空間で全ハミルトニアンが自己随伴であり、ガウスの法則が演算子方程式として成り立つQEDの積構造を構築できるか？
• RQ3 ガウスの法則が期待値でのみ成り立つフレームワークと、演算子方程式として成り立つフレームワークの2つが同じ内積の公式を導く物理的意味は何か？
• RQ4 積構造において、荷電物質と縦モード光子のもつれはどのように現れ、カウルムゲージ形式とはどのように異なるか？
• RQ5 ガウスの法則が期待値でのみ成り立つフレームワークは実験的に除外可能か？また、それと演算子形式のガウスの法則フレームワークとの間で観測可能な違いは何か？

主な発見

• 同一の総電荷を持つが異なる電荷分布を持つ電磁的コherent状態間の内積は、一般に非ゼロであり、以前の研究における4πの誤りを是正した公式が得られる。
• 2つの異なる理論的フレームワークが同一の内積公式を導く：1つはガウスの法則が期待値でのみ成り立つ（非自己随伴電場）もの、もう1つはガウスの法則が演算子方程式として成り立つ（非自己随伴ハミルトニアン）もの。
• 積構造におけるQEDでは、物理的状態部分空間が物質と電磁場のヒルベルト空間のテンソル積の部分空間として定義され、物理的状態部分空間で全ハミルトニアンが自己随伴である。
• 積構造において、縦電場は付随的現象ではなく、コherent状態として記述される量子自由度であり、消滅演算子の固有状態である。
• ディラック場および非相対論的荷電球系の両方において、積構造はカウルムゲージQEDとユニタリ同値であり、物質と縦モード光子のもつれが明示的に示される。
• ガウスの法則が期待値でのみ成り立つフレームワークは、コherent状態の重ね合わせ状態における電場演算子の期待値を測定することで実験的に除外可能であり、それは演算子形式のフレームワークとは異なる予測を下す。