[論文レビュー] Quantum embeddings for machine learning

Seth Lloyd, Maria Schuld+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 69

ひとこと要約

この論文は量子埋め込みの metric learning を提案する: 埋め込みを訓練してヒルベルト空間でデータクラスタの分離を最大化し、次に最適な量子測定（Helstrøm または fidelity）を分類に用いる。これにより、埋め込みが性能を牽引し、測定は選択された metric によって既知となるフレームワークが得られる。

ABSTRACT

Quantum classifiers are trainable quantum circuits used as machine learning models. The first part of the circuit implements a quantum feature map that encodes classical inputs into quantum states, embedding the data in a high-dimensional Hilbert space; the second part of the circuit executes a quantum measurement interpreted as the output of the model. Usually, the measurement is trained to distinguish quantum-embedded data. We propose to instead train the first part of the circuit -- the embedding -- with the objective of maximally separating data classes in Hilbert space, a strategy we call quantum metric learning. As a result, the measurement minimizing a linear classification loss is already known and depends on the metric used: for embeddings separating data using the l1 or trace distance, this is the Helstrom measurement, while for the l2 or Hilbert-Schmidt distance, it is a simple overlap measurement. This approach provides a powerful analytic framework for quantum machine learning and eliminates a major component in current models, freeing up more precious resources to best leverage the capabilities of near-term quantum information processors.

研究の動機と目的

• trainable quantum feature map を用いて古典データを量子状態として埋め込み、ヒルベルト空間で最大に分離されたクラスタを作る。
• ヒルベルト空間の距離の選択が最適測定を決定することを示す（トレース距離には Helstrøm、ヒルベルト・シュミット距離には fidelity/重なり）。
• 量子分類器における資源集約的な適応測定の必要性を削減する解析的枠組みを提供する。
• PennyLane を用いた量子埋め込みの訓練を実演し、小規模な例で性能を評価する。
• 近端の量子デバイスの実験的実現可能性と潜在的な量子利点を議論する。

提案手法

• 量子埋め込みを回路 Phi(x, theta) によって定義し、|x> = Phi(x, theta)|0...0> を生成する。
• 二つのクラス A と B からなる二つのデータ集合 ρ と σ を特徴づけ、経験的リスクを metric-dependent な測定と関連付ける。
• 経験的リスク -tr((ρ−σ)M) を用いた線形損失を用い、ヒルベルト空間の距離に関連づける： fidelity の場合、リスクは −D_hs(ρ,σ) に対応する； Helstrøm の場合、リスクは −2 D_tr(ρ,σ) に対応する。
• 最適測定は fidelity（スワップ検査）または ρ−σ の正/負部分空間への Helstrøm 投影であることを示す。
• 回路効率の観点から実用的な訓練をヒルベルト・シュミット距離に焦点を当て、トレース距離との関係と低ランク埋め込みとの関連を論じる。
• 実装と分析を提供し、PennyLane を用いた埋め込み訓練を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間の分離を最大化するように訓練された量子埋め込みが、既知の量子測定の下で最適または近似最適な分類につながるか。
• RQ2 埋め込みの距離指標（トレース距離 vs ヒルベルト・シュミット距離）と対応する最適測定（Helstrøm vs fidelity）との関係は量子分類でどうなるか。
• RQ3 浅い回路と標準的な最適化を用いて、近端の量子ハードウェア上で量子埋め込みを訓練・展開することはどれくらい実現可能か。
• RQ4 測定よりも埋め込みに分離を前 load することで資源を削減できるか（メトリックな量子学習が資源削減になるか）。
• RQ5 低ランク埋め込みは、量子分類器の一般化とサンプル要件にどのような影響を与えるか。

主な発見

• 埋め込みを最大化してクラスタ分離を高める訓練は、ヒルベルト空間での最適測定に対応する決定境界を生み出す可能性がある。
• fidelity を用いるヒルベルト・シュミット最適化は、SWAP テストのような重なり測定を介して実現可能な短い量子回路へと繋がる。
• Helstrøm（トレース距離）に基づく意思決定は、ρ−σ の正/負部分空間への投影を効率的な回路で行うことに対応する。
• 最適な測定の選択は選択されたヒルベルト空間の距離に依存し、量子機械学習に対する明確な解析枠組みを提供する。
• 小規模データセット（例：2D 月形データ）を用いた数値実演は、両アプローチ間で類似したが同一ではない決定境界を示す。
• 埋め込みは高次元になり得て、古典計算にはアクセスできない可能性があることが示唆され、潜在的な量子利点を提供する。