[論文レビュー] Quantum emulation of classical dynamics

Norman Margolus|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限状態の古典的ダイナミクスを有限エネルギーの量子系へ写像するための量子エミュレーションフレームワークを提案する。離散フーリエ変換とエネルギー固有状態を用いて、古典的時間発展を同型的に表現する。主な貢献は、この写像において古典的決定論と量子的不確実性が共存することを示したことであり、エネルギーと重ね合わせといった量子概念が、古典的ダイナミクスおよびエントロピーの組合せ的解釈を可能にすることである。

ABSTRACT

In statistical mechanics, it is well known that finite-state classical lattice models can be recast as quantum models, with distinct classical configurations identified with orthogonal basis states. This mapping makes classical statistical mechanics on a lattice a special case of quantum statistical mechanics, and classical combinatorial entropy a special case of quantum entropy. In a similar manner, finite-state classical dynamics can be recast as finite-energy quantum dynamics. This mapping translates continuous quantities, concepts and machinery of quantum mechanics into a simplified finite-state context in which they have a purely classical and combinatorial interpretation. For example, in this mapping quantum average energy becomes the classical update rate. Interpolation theory and communication theory help explain the truce achieved here between perfect classical determinism and quantum uncertainty, and between discrete and continuous dynamics.

研究の動機と目的

• 有限状態の古典的ダイナミクスと有限エネルギーの量子ダイナミクスとの間の形式的同型性を確立すること。
• 更新レートや配置エントロピーといった古典的概念を、量子力学的道具立てを用いて再解釈すること。
• 帯域幅と補間制約を通じて、古典的決定論と量子的不確実性の間の見かけ上の矛盾を解消すること。
• 量子形式主義が近似、デコherence、ハイブリッドモデルを一切用いずに古典的系を記述できることを示すこと。
• 教えることや概念的洞察を助けるために、古典力学を量子言語を通じて理解する基盤となるフレームワークを提供すること。

提案手法

• ヒルバート空間内に、各古典的状態を正規直交基底状態 |n,d⟩ として写像し、配置基底を構成する。
• 離散フーリエ変換を用いてハミルトニアン H を定義し、エネルギー固有状態 |E:m,d⟩ を作成し、エネルギーを Em,d = m·h/Td とする。
• 時間発展演算子 U(t) = exp(−iHt/ℏ) を用いて、離散時間ステップ τ における古典的ダイナミクスをシミュレートする。
• 古典的補間および通信理論を適用し、最小帯域幅とエネルギーを制限し、時間的および空間的制約下でも同型性を保証する。
• 重ね合わせ状態（例：|x,∞⟩N）を構築して、古典的同一性と等価性を表現し、不確実性を古典的系に対する量子的道具としてモデル化する。
• 同型性を保つために、同等の状態の上での対称化または平均化を施し、過剰な表現を排除しながらもダイナミクスを保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限状態の古典的ダイナミクスを、有限エネルギーの量子ダイナミクスへ同型的に埋め込むことができるか？
• RQ2 エネルギー、重ね合わせ、不確実性といった量子概念を、純粋に古典的で組合せ的な言いかえで解釈できるか？
• RQ3 量子フレームワーク内で古典的ダイナミクスを忠実にエミュレートするために、最小限必要なエネルギーと帯域幅は何か？
• RQ4 時間分解能と周波数帯域幅のトレードオフが、古典的系の量子エミュレーションをどの程度制約するか？
• RQ5 デコherenceや古典的・量子ハイブリッド仮定を一切用いずに、量子形式主義が古典的系を記述できるか？

主な発見

• 有限状態の古典的ダイナミクスは、配置状態の離散フーリエ変換を介して、有限エネルギーの量子ダイナミクスへ同型的に写像可能である。
• 量子系の平均エネルギーは、古典的更新レート ν = 1/τ に対応し、量子観測量と古典的力学的パrameterの間のリンクを提供する。
• 時間 T 内に N 個の異なる古典的状態を表現するために必要な最小帯域幅は Bmin = (N−1)/T であり、不確実性トレードオフの境界に達している。
• N=2 の場合、量子エネルギー固有状態の構成は理論的最小帯域幅に達するが、N≫2 の場合にはその2倍の帯域幅を超過する。
• 重ね合わせ状態 |x,∞⟩N は古典的同一性を表し、同等の古典的位置にわたる均一な重ね合わせを形成する。
• 同型性は古典的決定論を保ちながら、不確実性や補完性といった量子的概念を、古典的等価性および同一性の記述のための道具として埋め込んでいる。