[論文レビュー] Quantum Entanglement and Detection of Topological Order in Numerics

Tarun Grover|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2011

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トポロジカルに秩序された相における簡約化された基底状態のエンタングルメント構造を活用して、数値シミュレーションにおけるトポロジカル秩序の検出手法を提案する。これらの状態のスレーディング分解を分析することで、エンタングルメントエントロピーにおける非ユニバーサルな面積則項が相殺され、単純な式を用いてユニバーサルなトポロジカルエンタングルメントエントロピー $\gamma_{\text{topo}}$ を直接抽出できる。18サイトのキラルスピン液体状態に対して数値的に妥当性を検証した結果、理論的予測値 $\gamma_{\text{topo}} = \ln(2) \approx 0.69$ と非常に良好に一致した。この手法はDMRGおよび正確対角化と両立可能であり、境界状態の有無にかかわらず有効である。

ABSTRACT

"Topological ordered" phases such as gapped quantum spin-liquids and fractional quantum Hall states possess ground state degeneracy on a torus. We show that the topological nature of this degeneracy has interesting consequences for the entanglement structure of the degenerate ground states. This leads to a simple method for detecting topological order, which is ready-made for numerical schemes such as density matrix renormalization group. The method is valid for phases that do or do not possess edge states alike. We demonstrate it by calculating the entanglement spectrum and the topological entanglement entropy for a chiral spin-liquid state on a 18 site system.

研究の動機と目的

• ギャップのある量子相におけるトポロジカル秩序の実用的数値的手法を開発すること。特に、フェルミオンの符号問題により量子モンテカルロ法が失敗する状況を想定する。
• 有限サイズ効果の影響と三重エンタングルメント計算の欠如に起因する、標準的DMRGシミュレーションからのユニバーサルなトポロジカルエンタングルメントエントロピー $\gamma_{\text{topo}}$ の抽出困難を克服すること。
• 縮退基底状態を用いてエンタングルメントエントロピーにおける非ユニバーサルな面積則項をキャンセルするスキームを提供し、$\gamma_{\text{topo}}$ のロバストな抽出を可能にすること。
• キラルスピン液体状態を用いた小規模系（18サイト）において手法を検証し、理論的 $\gamma_{\text{topo}} = \ln(2)$ との一致を示すこと。
• 発現するゲージボソンを有する量子秩序相へのエンタングルメントに基づく診断法の適用範囲を拡張し、トポロジカル縮退とギャップレス光子的モードを区別すること。

提案手法

• 本手法は、トポロジカルに秩序された相のすべての縮退基底状態が、同じ非ユニバーサルな面積則項を持つことに依存しており、これにより異なる基底状態のスレーディングスペクトルを比較することで相殺が可能になる。
• DMRG や正確対角化により得られる2つ以上の縮退基底状態 $|\psi_1\rangle$ と $|\psi_2\rangle$ のスレーディング分解を用い、それらが同じ縮約密度行列構造を持つことを利用する。
• 重要な式は $S_2(\phi) = \cos^2(\phi) S_2(|\psi_1\rangle) + \sin^2(\phi) S_2(|\psi_2\rangle)$ であり、差 $S_{2,\text{max}} - S_{2,\text{min}} = 2\gamma_{\text{topo}}$ はスーパー位置角 $\phi$ に依存しない。
• キラルスピン液体波動関数を平均場d波BCSギャップ $\Delta$ でパラメータ化することで、縮退状態の重ね合わせにわたるエンタングルメントエントロピーを体系的に変化させられる。
• トポロジカルエンタングルメントエントロピーは、重ね合わせパラメータ $\phi$ にわたる最大および最小のリーマンエントロピー $S_2$ の差から抽出され、その差が $2\gamma_{\text{topo}}$ を与える。
• 複雑な三重エンタングルメント測定（例：式(3)）を回避でき、相関長 $\xi \ll L$ の条件下では、有限サイズ効果が存在する小規模系に対しても正確に保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的DMRGまたは正確対角化を用いた小規模系において、縮退基底状態から $\gamma_{\text{topo}}$ を信頼性高く抽出できるか？
• RQ2 トポロジカルに秩序された相における縮退基底状態のエンタングルメントスペクトルは、状態が僅かに縮退している場合でも同一のままであるか？
• RQ3 縮退状態の重ね合わせにおけるリーマンエントロピー $S_2$ の差を用いて、三重エンタングルメント測定を要せず $\gamma_{\text{topo}}$ を抽出できるか？
• RQ4 実際の量子スピン液体の数値的シミュレーションで見られる有限サイズ効果および近似的な縮退に対して、この手法はロバストか？
• RQ5 このエンタングルメントに基づく手法は、量子秩序相におけるトポロジカル縮退とギャップレスゲージモードを区別できるか？

主な発見

• 18サイトのキラルスピン液体状態から $\gamma_{\text{topo}}$ を成功裏に抽出し、$S_{2,\text{max}} - S_{2,\text{min}} \approx 0.67$ を得た。理論的予測値 $\ln(2) \approx 0.69$ と良好に一致した。
• 2つのほぼ縮退した基底状態（$|0,0\rangle$ と $|0,\pi\rangle$）のエンタングルメントスペクトルは同一であり、縮退状態間でスレーディング固有値 $\lambda_\alpha$ が同一であることを確認した。
• 同じ $\lambda_\alpha$ に対応するスレーディング状態は、異なる縮退基底状態間で直交しており、式(5)の予測通りであった。理論的枠組みの妥当性が裏付けられた。
• 縮退状態の重ね合わせにおける $S_2$ の差は、重ね合わせ角 $\phi$ に依存しないことが確認され、理論的予測（$S_2(\phi)$ が個々の状態の $S_2$ 値にのみ依存する）が裏付けられた。
• 相関長 $\xi \ll L$ の条件下では、スピン-$1/2$ システムで $N=30-40$ サイト程度まで数値的に実行可能である。
• 本手法は、境界状態の有無に関わらずトポロジカル秩序に適用可能であり、エンタングルメント構造を用いて、量子秩序相におけるトポロジカル縮退とギャップレスゲージモードを区別できる。