[論文レビュー] Quantum entanglement and geometry of determinantal varieties

Hao Chen|ArXiv.org|Oct 17, 2001

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所ユニタリ変換の下での混合量子状態の代数的不変量として、複素射影空間内の行列式的多様体を導入し、量子もつれを代数幾何と結びつける。幾何学的分離可能性基準を確立する：分離可能な状態は、線型部分空間の和として表される行列式的多様体に対応し、これによりもつれの新基準、スチュルム数の上限、ハミルトニアンシミュレーション、およびPPT束縛もつれ状態の体系的構成が可能になる。

ABSTRACT

Quantum entanglement was first recognized as a feature of quantum mechanics in the famous paper of Einstein, Podolsky and Rosen [18]. Recently it has been realized that quantum entanglement is a key ingredient in quantum computation, quantum communication and quantum cryptography ([16],[17],[6]). In this paper, we introduce algebraic sets, which are determinantal varieties in the complex projective spaces or the products of complex projective spaces, for the mixed states in bipartite or multipartite quantum systems as their invariants under local unitary transformations. These invariants are naturally arised from the physical consideration of measuring mixed states by separable pure states. In this way algebraic geometry and complex differential geometry of these algebraic sets turn to be powerful tools for the understanding of quantum enatanglement. Our construction has applications in the following important topics in quantum information theory: 1) separability criterion, it is proved the algebraic sets have to be the sum of the linear subspaces if the mixed states are separable; 2) lower bound of Schmidt numbers, that is, generic low rank bipartite mixed states are entangled in many degrees of freedom; 3) simulation of Hamiltonians, it is proved the simulation of semi-positive Hamiltonians of the same rank implies the projective isomorphisms of the corresponding algebraic sets; 4) construction of bound enatanglement, examples of the entangled mixed states which are invariant under partial transpositions (thus PPT bound entanglement) are constructed systematically from our new separability criterion. On the other hand many examples of entangled mixed states with rich algebraic-geometric structure in their associated determinantal varieties are constructed and studied from this point of view.

研究の動機と目的

• 混合状態から導かれる代数的不変量を用いて、量子もつれを分析する幾何学的枠組みを確立すること。
• 混合状態に関連する行列式的多様体の代数的構造に基づいた分離可能性基準を開発すること。
• 代数幾何を用いて、スチュルム数の上限やハミルトニアンシミュレーションを含む、量子情報理論の主要問題を解決すること。
• 新奇な幾何学的分離可能性基準を用いて、PPT束縛もつれ状態を体系的に構成すること。
• 双粒子系における一般の低ランク混合状態が、関連する行列式的多様体の非線形構造を解析することでもつれ状態であることを示すこと。

提案手法

• 局所基底の選択に基づく密度行列から構成される行列の小行列式の零点集合として、行列式的多様体を定義する。
• ランク条件 $\text{rank}(\sum r_i A_i) \leq n-1$ を用いて、混合状態 $\rho$ に関連する行列式的多様体を定義する。
• $\mathbb{C}^m$ や $\mathbb{C}^m \times \mathbb{C}^n$ におけるこれらの多様体の構造を、複素代数幾何および微分幾何を用いて解析する。
• 分離可能な混合状態が、アフィン線型部分空間の和として表される行列式的多様体に対応することを確立する。
• これらの多様体の射影同型を用いて、ハミルトニアンシミュレーションにおける同値性を特徴付ける。
• 部分転置に対して不変であるが、関連する行列式的多様体が非線形であることを保証することで、PPTもつれ状態の具体例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合量子状態の分離可能性は、関連する行列式的多様体の代数的構造によって特徴付けられるか？
• RQ2 行列式的多様体に課される幾何学的条件は、混合状態がもつれ状態または束縛もつれ状態であることを示唆するか？
• RQ3 混合状態のスチュルム数は、その行列式的多様体の次元および既約性とどのように関係するか？
• RQ4 同じランクの半正定値ハミルトニアンのシミュレーションは、行列式的多様体の射影同型によって特徴付けられるか？
• RQ5 部分転置に対して不変である混合状態がもつれ状態（すなわち束縛もつれ状態）であるための条件は何か？

主な発見

• 双粒子系における分離可能な混合状態は、アフィン線型部分空間の和として表される行列式的多様体に対応する。
• 一般の低ランク双粒子混合状態は、関連する行列式的多様体が線型部分空間の和でないためもつれ状態である。
• 同じランクの半正定値ハミルトニアンのシミュレーションは、対応する行列式的多様体の射影同型を意味する。
• 行列式的多様体が非線形であるが、状態が部分転置に対して不変であることを保証することで、PPT束縛もつれ混合状態を体系的に構成する新手法を開発した。
• $\rho_{0,0,1}$ は、この幾何学的基準を用いて構成された、範囲内に分離可能な純粋状態を含むPPTもつれ混合状態の最初の例である。
• 一般のパラメータ $e_1, e_2, e_3$ に対して、行列式的多様体 $V_A^5(\rho_{e_1,e_2,e_3}) \cap C^3$ は直線ではなく曲線を含むことが示され、非線形構造によるもつれの証明がなされた。