[論文レビュー] Quantum entanglement in finite-dimensional Hilbert spaces

Szilárd Szalay|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 92被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、有限次元ヒルベルト空間内の混合量子状態の部分的分離性について包括的な分類を提示し、エンタングルメント測度の消滅に基づく必要十分条件を導入している。主な貢献は、任意の数の部分系および次元に対して適用可能な、任意の多体混合状態の分離性クラスを特定する体系的な枠組みの構築である。

ABSTRACT

In the past decades, quantum entanglement has been recognized to be the basic resource in quantum information theory. A fundamental need is then the understanding its qualification and its quantification: Is the quantum state entangled, and if it is, then how much entanglement is carried by that? These questions introduce the topics of separability criteria and entanglement measures, both of which are based on the issue of classification of multipartite entanglement. In this dissertation, after reviewing these three fundamental topics for finite dimensional Hilbert spaces, I present my contribution to knowledge. My main result is the elaboration of the partial separability classification of mixed states of quantum systems composed of arbitrary number of subsystems of Hilbert spaces of arbitrary dimensions. This problem is simple for pure states, however, for mixed states it has not been considered in full detail yet. I give not only the classification but also necessary and sufficient criteria for the classes, which make it possible to determine to which class a mixed state belongs. Moreover, these criteria are given by the vanishing of quantities measuring entanglement. Apart from these, I present some side results related to the entanglement of mixed states. These results are obtained in the learning phase of my studies and give some illustrations and examples.

研究の動機と目的

• 混合状態の多体有限次元量子系における部分的分離性の完全的かつ体系的な分類を構築すること。
• エンタングルメント測度の消滅に基づき、任意の混合状態の分離性クラスを特定するための必要十分条件を提供すること。
• 純状態および二部系に限らない既存の分離性基準を、任意の次元の一般多体混合状態へと拡張すること。
• 与えられた混合状態の部分的分離性クラスを一意に特定する指標関数を導入すること。
• エンタングルメントモノトーン関数、局所ユニタリ不変量、および多体系における密度行列の構造との関係を調査すること。

提案手法

• 部分系の部分集合とそれに対応する分離性クラスに基づき、混合状態の部分的分離性構造に基づく形式的枠組みを構築した。
• エンタングルメント測度（例：concurrence や negativity）から導かれる指標関数を導入し、それがかつてある特定の部分的分離性クラスに属する場合に限りゼロとなるように定義した。
• 特に三キュービット状態に対して、次数6の局所ユニタリ（LU）不変多項式を用いて多体系におけるエンタングルメントを特徴づけた。
• FTS（ジャンル代数）アプローチを用いて指標関数を導出し、分析した。特に $ g_a $, $ g_b $, $ g_c $, および $ t $ 関数を含み、これらはエンタングルメント構造を符号化している。
• 行列演算、不変量のグラフ表現、置換対称性を用いて、三部系および一般多部系に対する基準を確立した。
• エンタングルメントモノトーン関数と凸ルーフ拡張を組み合わせ、局所操作下での挙動を分析し、非単調となるケースを同定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の数の部分系および次元に対して、多体系における混合量子状態の部分的分離性を、完全かつ決定可能である形で分類する方法は何か？
• RQ2 特定の部分的分離性クラスに属するための必要十分条件は何か。これらはエンタングルメント測度の消滅としてどのように表現できるか？
• RQ3 一般多体混合状態に対して、エンタングルメントモノトーン指標関数を体系的に構築可能か。また、そのうちのどれが局所操作下で単調でないか？
• RQ4 FTSアプローチから導かれた $ g_a $, $ g_b $, $ g_c $, および $ t $ 関数は、ウッタースのconcurrence やツァリスエントロピーといった既知のエンタングルメント測度とどのように関係しているか？
• RQ5 次数6の局所ユニタリ不変量が、多体系の純状態および混合状態におけるエンタングルメント構造を完全に特徴づけられるか、その範囲はどの程度か？

主な発見

• 本論文は、任意のサイズおよび次元の多体系混合状態における部分的分離性の完全な分類を提供し、各クラスに対して明示的な基準を提示した。
• 各部分的分離性クラスへの属するための必要十分条件は、concurrence や negativity などの特定のエンタングルメント測度の消滅として与えられる。
• FTSアプローチから導かれた指標関数 $ g_a $, $ g_b $, $ g_c $, および $ t $ は、非自明なエンタングルメント構造（例：三体寄与）を符号化していることが示された。
• $ g_a $ 関数は、GHZ状態でない状態では、二キュービット部分系のconcurrenceの二乗和に一致するが、エンタングルメントモノトーンではないため、標準的なエンタングルメント測度を表さない。
• 局所操作下で平均的に非増加でない例（反例）を構成し、$ g_a $ や $ t $ のようなFTSから導かれた関数がエンタングルメントモノトーン条件を満たさないことが示された。
• この枠組みにより、分離可能な状態でも非古典的相関（例：量子ディスコード）を示す可能性があることが明らかになり、混合状態においてエンタングルメントは古典的相関よりも強い非古典的性質であることが判明した。