[論文レビュー] Quantum Equivalence Principle for Path Integrals in Spaces with Curvature and Torsion

H. Kleinert|ArXiv.org|Nov 18, 1995

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、平坦空間からの非完全従属座標変換を用いて、曲がった空間およびねじれを有する空間における経路積分を導出する新しい量子等価原理を提案する。これにより、曖昧さや不自然な曲率項が解消され、D次元球面やクーロン・ハーモニック・オシレーター双対性といった系の正しいエネルギー準位が得られる。時間スライシングの歪みや量子順序付けの問題も生じない。

ABSTRACT

We formulate a new quantum equivalence principle by which a path integral for a particle in a general metric-affine space is obtained from that in a flat space by a non-holonomic coordinate transformation. The new path integral is free of the ambiguities of earlier proposals and the ensuing Schrödinger equation does not contain the often-found but physically false terms proportional to the scalar curvature. There is no more quantum ordering problem. For a particle on the surface of a sphere in $D$ dimensions, the new path integral gives the correct energy $\propto \hat L^2$ where $\hat L$ are the generators of the rotation group in ${\bf x}$-space. For the transformation of the Coulomb path integral to a harmonic oscillator, which passes at an intermediate stage a space with torsion, the new path integral renders the correct energy spectrum with no unwanted time-slicing corrections.

研究の動機と目的

• 曲がった空間およびねじれを有する空間における経路積分の定式化に長年残された曖昧さを解消すること。
• 以前の経路積分から導かれたシュレーディンガー方程式に現れるスカラー曲率に比例する物理的でない項を排除すること。
• 任意の量子順序付けの規定を必要とせず、計量-接続幾何における量子力学の一貫した枠組みを提供すること。
• D次元球面やクーロン問題が調和振動子に写像された系の正しいエネルギー準位を保証すること。

提案手法

• 一般の計量-接続空間における経路積分を、平坦空間の経路積分に非完全従属座標変換を適用することで導出する。
• 変換を用いて、曲がった空間およびねじれを有する幾何における粒子の運動を、平坦空間における自由粒子の経路積分に写像する。
• 変換された作用に標準的な経路積分の量子化則を適用し、演算子順序付けの曖昧さを回避する。
• 結果として得られるシュレーディンガー方程式に、不自然な曲率依存項が含まれないことを確認することで一貫性を保証する。
• D次元球面やクーロン-調和振動子双対性といった既知の系に対して、手法の妥当性を検証する。
• 時間スライシング補正がエネルギー準位に影響しないことを確認し、正確な結果が保たれることを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった空間およびねじれを有する空間における量子粒子の経路積分定式化は、物理的でない項を導入せずに一貫して構築可能か？
• RQ2 計量-接続幾何に一般化された量子等価原理は、正確なスペクトル結果を保ちながらどのように拡張可能か？
• RQ3 なぜ以前の経路積分手法は曲率項のため、誤ったエネルギー準位を生じるのか？そして、これを回避するにはどうすればよいか？
• RQ4 非ホロノミックな写像を用いて、ねじれを有する空間を通じてクーロン問題を正確に調和振動子に写像できるか？
• RQ5 任意の量子順序付けの規定を不要にする変換に基づく手法は、曲がった空間において存在するか？

主な発見

• 新しい経路積分定式化により、スカラー曲率に比例する不自然な項を含まないシュレーディンガー方程式が得られ、曲がった多様体上の量子力学における長年の問題が解決された。
• D次元球面上の粒子について、エネルギー準位は $ E \propto \hat{L}^2 $ として正しく与えられ、ここで $ \hat{L} $ はx空間における回転群生成子を表す。
• クーロン問題の経路積分は、ねじれを有する空間を通じた非ホロノミック写像を経て変換され、時間スライシング補正なしに正確な調和振動子のエネルギー準位を再現する。
• 変換によりハミルトニアンにおける正しい演算子順序付けが一意に定まるため、量子順序付け問題が解消された。
• 非ゼロのねじれを有する幾何に対しても一貫性があり、正確なスペクトル結果が維持される。
• 座標変換を通じて計量-接続空間における経路積分を平坦空間の経路積分に還元することにより、統一的な枠組みが提供された。