[論文レビュー] Quantum factorization of 56153 with only 4 qubits

Nikesh S. Dattani, Nathaniel Bryans|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、2012年のNMR量子因数分解実験が、143の他に56153を含むより大きな数を、因数の事前知識なしに4キュービットのみで因数分解したことを示している。これは、因数分解問題を4キュービットハミルトニアンを用いた基底状態の最小化問題に変換することで達成された。さらに、三素数175の3キュービット因数分解を提示し、非半素数の数に対しては高次相互作用がハミルトニアンに現れることを明らかにした。これにより、2つ以上の素因数を持つ合成数の因数分解における量子優位性の道筋が示された。

ABSTRACT

The largest number factored on a quantum device reported until now was 143. That quantum computation, which used only 4 qubits at 300K, actually also factored much larger numbers such as 3599, 11663, and 56153, without the awareness of the authors of that work. Furthermore, unlike the implementations of Shor's algorithm performed thus far, these 4-qubit factorizations do not need to use prior knowledge of the answer. However, because they only use 4 qubits, these factorizations can also be performed trivially on classical computers. We discover a class of numbers for which the power of quantum information actually comes into play. We then demonstrate a 3-qubit factorization of 175, which would be the first quantum factorization of a triprime.

研究の動機と目的

• 2012年のNMR実験が143以外にも、因数の事前知識なしに4キュービットのみで56153を因数分解していたことを明らかにすること。
• 2つ以上の素因数を持つ数を扱う際、高次相互作用を必要とする量子計算の因数分解における力が顕在することを示すこと。
• 因数分解制約を符号化したハミルトニアンの離散的最小化を用いる量子因数分解の手法を構築すること。この手法は半素数および三素数に適用可能である。
• 3キュービット系が三素数175を因数分解できることを示し、3体相互作用が必要であるのに対し、半素数では2体相互作用で十分であることを明らかにすること。
• 量子優位性が大規模な半素数の因数分解においてではなく、2つ以上の素因数を持つ合成数の因数分解において実現可能であるような枠組みを確立すること。

提案手法

• 乗算表をキャリー変数を含む二進方程式系として表現することで、因数分解問題を離散最適化問題に変換する。
• 因数分解問題の解が、二進乗算方程式の残差の二乗和として構築されたハミルトニアンの基底状態に符号化される。
• 143の場合、方程式(7)～(9)からハミルトニアンが導出され、(p₁+q₁−1)² + (p₂+q₂−1)² + (p₂q₁+p₁q₂−1)² を最小化する4キュービット系に還元される。
• 175の場合、方程式(37)～(38)から3キュービットハミルトニアンが構築され、(p₁+q₁+r₁−1)² + (p₁q₁+q₁r₁+p₁r₁)² を最小化する。このハミルトニアンは三素数175の因数分解を符号化している。
• ハミルトニアンの基底状態は、因数分解問題の古典的解に対応し、固有値が有効な因数ペアを示す。
• Shorのアルゴリズムを避ける代わりに、ハミルトニアン最小化による量子断続的最適化を用いる。この手法は、複数の素因数を持つ数に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2012年のNMR実験が143を因数分解したが、因数の事前知識なしに56153のようなより大きな数も因数分解していたことを示せるか？
• RQ2 三素数175を量子最適化アプローチで因数分解するのに必要な最小キュービット数は何か？
• RQ3 因数分解対象の数の素因数の数に応じて、必要なキュービット相互作用（2体対比3体）はどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 同じハミルトニアン最小化技術を、2つ以上の素因数を持つ数に一般化し、スケーラブルな量子アーキテクチャに適用可能か？
• RQ5 ハミルトニアンにおける高次相互作用の使用は、古典的手法に対する量子計算の真の優位性を示す領域となるか？

主な発見

• 2012年のNMR実験は、解決策の事前知識がなかったにもかかわらず、4キュービットのみで56153を因数分解していた。
• 56153の因数分解は、二進乗算方程式の残差の二乗和を最小化する4キュービットハミルトニアンによって達成され、基底状態が正しい因数を符号化している。
• 3キュービット系は三素数175を正常に因数分解でき、基底状態は175 = 5 × 5 × 7の因数分解に対応しており、非半素数の数に対しても実現可能であることを示している。
• 175のハミルトニアンには3体相互作用が含まれており、展開形における項6p₁q₁r₁がそれを裏付け、3つ以上の素因数を持つ数に対してはこのような相互作用が必要であることを確認している。
• 175のハミルトニアンの基底状態には3つのdegenerate解（p₁,q₁,r₁）=（0,0,1）、（0,1,0）、（1,0,0）が存在し、175の3つの異なる因数分解に対応している。
• この手法により、量子優位性が大規模な半素数の因数分解ではなく、2つ以上の素因数を持つ数の因数分解において顕在することが示された。古典的手法は、このような数に対してより困難である。