[論文レビュー] Quantum Fidelities, Their Duals, And Convex Analysis

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、凸最適化を用いて、ウルマンの忠実度、f(x) = -√x における負のf発散度、および逆テストを用いた新規忠実度の3つの量子忠実度を導入し、分析する。それらの双対（極形式）を定義し、ユニタル完全正則マップの下での単調性を証明する。また、古典的から量子的、および量子的から古典的への写像を介して、凹型および双対性を確立する。qubitの場合の明示的公式は、観測可能量の重なりに逆比例することを示している。

ABSTRACT

We study tree kinds of quantum fidelity. Usual Uhlmann's fidelity, minus of f-divergence when $f(x)=-\sqrt{x}$, and the one introduced by the author via reverse test. All of them are quantum extensions of classical fidelity, where the first one is the largest and the third one is the smallest. We characterize them in terms of convex optimization, and introduce their 'dual' quantity, or the polar of the minus of the fidelity. They turned out to be monotone increasing by unital completely positive maps, concave, and linked to its classical version via optimization about classical-to-quantum maps and quantum-to-classical maps.

研究の動機と目的

• 3つの量子忠実度—ウルマンの忠実度、f発散度に基づく忠実度、逆テストに基づく忠実度—を凸解析を用いて特徴づけること。
• これらの忠実度の双対（極形式）を定義し、それらを分析すること。
• ユニタル完全正則マップの下での単調性および凹型を確立すること。
• 古典的から量子的、および量子的から古典的への写像を最適化することにより、量子忠実度と古典的忠実度を結びつけること。
• qubit状態における最大および最小忠実度の明示的公式を導出し、観測可能量の重なりに逆比例することを示すこと。

提案手法

• 3つの忠実度およびその双対を特徴づけるために凸最適化を用いる。
• マイナス忠実度の双対を忠実度の極形式として定義し、ユニタルCPマップの下で単調増加であることを示す。
• ユニタル完全正則マップを適用して、測定および準備写像を介して量子忠実度と古典的忠実度を関連付ける。
• トレースおよび固有値の性質を用いて、qubitの場合の最大および最小忠実度の明示的表現を導出する。
• 非可逆演算子を取り扱うために、ピンチング作用素および一般化逆行列を適用する。
• POVMおよびCPTPマップの構造を用いて、量子的から古典的、および古典的から量子的への変換を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つの量子忠実度—ウルマンの忠実度、f発散度に基づく忠実度、逆テストに基づく忠実度—は、互いにどのように関係し、古典的忠実度と関係するか。
• RQ2 マイナス忠実度の双対（極）とは何か。また、ユニタル完全正則マップの下でどのように振る舞うか。
• RQ3 量子忠実度は、量子的から古典的、および古典的から量子的への写像を最適化することによって、どのように古典的忠実度と結びついているか。
• RQ4 特定のトレースおよびノルム制約の下で、qubit状態における最大および最小忠実度の明示的形は何か。
• RQ5 2組のqubit演算子の間でCPユニタルマップが保証的に存在する条件は何か。

主な発見

• \mathrm{tr}\,L_0^2 = \mathrm{tr}\,L_1^2 = \mathrm{tr}\,(L_0')^2 = \mathrm{tr}\,(L_1')^2 かつ \|L_0 - L_1\| が固定されているとき、最大忠実度 $ F_{\text{max}}(L_0, L_1) $ および最小忠実度 $ F_{\text{min}}(L_0, L_1) $ は $ \mathrm{tr}\,L_0L_1 $ の減少関数である。
• L_0 = I_2 + a\sigma_x + b\sigma_z、L_1 = I_2 + a\sigma_x - b\sigma_z を満たすqubit状態に対して、最小忠実度は $ r^2 \geq |a| $ のとき $ \hat{F}_{\min}(L_0, L_1) = 2\sqrt{(1 - r^2)(1 - a^2/r^2)} $、それ以外のときは $ 2(1 - |a|) $ である。
• 最大忠実度 $ \hat{F}_{\max}(L_0, L_1) $ は、トレースおよび行列式を含む閉形式の式で与えられ、具体的には $ \frac{2(1 - r^2)^2}{\mathrm{tr}\,L_0L_1 + \sqrt{(\mathrm{tr}\,L_0L_1)^2 - 4(1 - r^2)^2}} $ である。
• 双対忠実度 $ \hat{F}_{\max} $ および $ \hat{F}_{\min} $ はユニタル完全正則マップの下で単調増加であるが、元の忠実度はこのようなマップの下で単調減少である。
• \mathrm{rank}(L_0) = 1 または \mathrm{rank}(L_1) = 1 のとき、2組の演算子の間でCPユニタルマップが存在するのは、ターゲットペアにも少なくとも1つのランク1演算子が存在する場合に限る。
• 等しいトレースノルムを持つqubit系において、(L_0, L_1) および (L_0', L_1') の間にCPユニタルマップが存在するのは、\mathrm{tr}\,L_0L_1 = \mathrm{tr}\,L_0'L_1' のときに限り、これはユニタリ同値性を意味する。