[論文レビュー] Quantum Field Theories and Prime Numbers Spectrum

Gabriel Menezes, N. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ゼータ関数正則化を用いて、素数から成るエネルギー固有値を持つ量子場理論が数学的に整合的かどうかを検討する。素数ゼータ関数が Re(s) ≤ 0 に解析接続できないことを証明し、素数固有値を持つ自由スカラー量子場理論は標準的な量子場理論の枠組み内では数学的に不適切であり、構成不可能であることが示される。

ABSTRACT

The Riemann hypothesis states that all nontrivial zeros of the zeta function lie on the critical line $\Re(s)=1/2$. Hilbert and Pólya suggested a possible approach to prove it, based on spectral theory. Within this context, some authors formulated the question: is there a quantum mechanical system related to the sequence of prime numbers? In this Letter we show that such a sequence is not zeta regularizable. Therefore, there are no physical systems described by self-adjoint operators with countably infinite number of degrees of freedom with spectra given by the sequence of primes numbers.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン固有値が素数の列で与えられる量子場理論が存在しうるかどうかを特定すること。
• 関数的積分法とゼータ関数正則化を用いて、その理論の数学的整合性を評価すること。
• 素数ゼータ関数が、量子場理論における適切に定義された生成関数または有効作用を許容するかを調査すること。
• 自由場および弱い相互作用を有する場への分析を拡張し、高スピン場やスピノル場を含めること。
• 零点エネルギーの和に素数が現れる場合の真空エネルギーおよびカシミールエネルギーに与える影響を検討すること。

提案手法

• オイラー的経路積分法を用いて、素数固有値を持つ仮想の量子場理論を形式化すること。
• 素数ゼータ関数 P(s) = ∑_p p^(-s) にゼータ関数正則化を適用すること（p は素数を走査）。
• P(s) の解析接続を分析し、特に非自明なゼータ関数の零点から生じる虚軸上への極の集積を特定すること。
• Re(s) > 0 に対して、P'(s) = ∑_k μ(k) ζ'(ks)/ζ(ks) という固有値ゼータ関数の微分を導出すること。
• W[0] = (1/2)ln(μ²P(s))|_{s=0} + (1/2)P'(s)|_{s=0} として関数的積分の生成関数を評価し、その収束性をテストすること。
• ゼータ正則化とカットオフ法との等価性を用いて、s=0 における解析接続の欠如が真空エネルギーを不適切にすることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー準位が素数の列に丁度一致する自由スカラー量子場理論を構築することは可能か？
• RQ2 s=0 において素数ゼータ関数 P(s) がゼータ正則化に適しているか、これは関数的積分を定義するための必要条件である。
• RQ3 P(s) の解析的構造が、有限かつ適切に定義された1ループ有効作用または真空エネルギーを許容するか？
• RQ4 素数固有値に対するゼータ正則化の失敗が、相互作用的または高スピン量子場理論へ拡張可能か？
• RQ5 スペクトルが素数で与えられる場合、カシミールエネルギーおよびトレース異常にはどのような影響があるか？

主な発見

• 素数ゼータ関数 P(s) は、0 < Re(s) ≤ 1 の帯にのみ解析接続可能であり、Re(s) ≤ 0 には接続できない。
• 素数固有値を持つ自由スカラー場の関数的積分生成関数 W[0] は、P(s) が s=0 に拡張できないため、不適切に定義される。
• s=0 における解析接続の欠如は、ゼータ関数法による1ループ有効作用および真空エネルギーの正則化が不可能であることを示唆する。
• この結果は、スピンors などの高スピン場を含む弱い相互作用理論へも同様に拡張可能である。
• 真空エネルギー ∑p（素数の和）は、ゼータ正則化を用いても有限にできないため、標準的な正則化手順は無効である。
• このような理論を定義できないのは技術的制限ではなく、素数ゼータ関数の解析的構造における根本的な障害に起因する。