[論文レビュー] Quantum field theories of extended objects

Daniel Friedan|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2n次元の共形時空における (n−1) 次元の拡張対象の共形的でない量子場理論（QFT）を構築するための新規フレームワークを提案する。このフレームワークは、相対的整数 (n−1)-サイクルの空間への量子場の写像を、2次元共形場理論（CFT）における観測量へと行う。主な貢献は、拡張対象の量子理論と2次元CFTとの間の幾何学的・代数的同型性の確立であり、これにより、準リーマン面と整数カレントを用いることで、2次元QFTの技術を高次元の拡張対象へ応用可能となる。

ABSTRACT

First steps are taken in a project to construct a general class of conformal and perhaps, eventually, non-conformal quantum field theories of (n-1)-dimensional extended objects in a d=2n dimensional conformal space-time manifold M. The fields live on the spaces E of relative integral (n-1)-cycles in M -- the integral (n-1)-currents of given boundary. Each E is a complete metric space geometrically analogous to a Riemann surface $Σ$. For example, if $M=S^d$, $Σ= S^2$. The quantum fields on E are to be mapped to observables in a 2d CFT on $Σ$. The correlation functions on E are to be given by the 2d correlation functions on $Σ$. The goal is to construct a CFT of extended objects in d=2n dimensions for every 2d CFT, and eventually a non-conformal QFT of extended objects for every non-conformal 2d QFT, so that all the technology of 2d QFT can be applied to the construction and analysis of quantum field theories of extended objects. The project depends crucially on settling some mathematical questions about analysis in the spaces E. The project also depends on extending the observables of 2d CFT from the finite sets of points in a Riemann surface to the integral 0-currents.

研究の動機と目的

• 2n次元の共形時空における (n−1) 次元の拡張対象の一般クラスの共形的および最終的には非共形的QFTの構築。
• 相対的整数 (n−1)-サイクルの空間上の量子場と2次元CFTにおける観測量との間の対応関係の確立。
• 相関関数、頂点演算子、ゲージ対称性といった2次元QFTの技術を、幾何学的・代数的同型を通じて高次元の拡張対象へ応用可能にする。
• 整数カレントの無限次元空間における関数論および幾何学の解析という数学的課題の解決。

提案手法

• 理論は、整数 (n−1)-カレントの空間 E∂ξ に基づく。これはリーマン面と幾何学的に類似しており、完備な距離空間を形成する。
• E∂ξ 上の量子場は、リーマン面 Σ 上の2次元CFTからの引き戻しによって定義され、相関関数は2次元理論から直接引き継がれる。
• E∂ξ の接空間（平坦な n-カレントとして特定）にホッジ ∗-作用素を適用し、複素構造を定義することで共形不変性を実現する。
• 整数カレントのバンドル Dint_{n−1}(M) → ∂Dint_{n−1}(M) =: B を用い、自然な接続により、ファイバー間での観測量の輸送が可能となる。
• 頂点演算子とゲージ対称性は、U(1)×U(1) モデルやチャーラル場といった2次元CFTの構造を引き戻しにより拡張対象空間へと持ち上げることで構成される。
• 理論は n が偶数の場合と奇数の場合を区別する：n が奇数のとき、2次元CFTは実である。n が偶数のとき、それは複素である。時空における実性条件は、2次元理論における反線形対称性に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2n次元時空における (n−1) 次元の拡張対象のQFTを、2次元CFTを基盤として体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 相対的整数 (n−1)-カレントの空間 E∂ξ の幾何学的・解析的構造は何か？ そして、それが共形場理論を支えるにはどのように寄与するか？
• RQ3 時空における n-形式場の実性条件およびディラック量限定条件は、関連するリーマン面または準リーマン面上の2次元CFTにおけるそれらとどのように関係するか？
• RQ4 ホッジ ∗-作用素および整数カレントバンドル上の自然な接続が、量子観測量の定義およびその輸送に果たす役割は何か？
• RQ5 時空における n-形式場理論のゲージ対称性は、2次元CFTフレームワークにおいて、どのように特別なグローバル対称性の集合として現れるか？

主な発見

• 相対的整数 (n−1)-カレントの空間 E∂ξ は、リーマン面 Σ と幾何学的に類似した完備な距離空間であり、これによりその上に2次元CFTを定義可能である。
• E∂ξ 上の量子場は2次元CFTの観測量と同型であり、相関関数は2次元理論から直接引き継がれる。
• n が奇数のとき、E∂ξ 上の2次元CFTは実1形式理論である。n が偶数のとき、それは複素1形式理論である。時空における実性条件は、2次元理論における反線形対称性に対応する。
• n が偶数の場合、時空におけるディラック量限定条件は2次元CFTにおけるそれとは異なる。2次元理論では、電荷と磁気的電荷はそれぞれ複素平面 C 内の双対格子 L⊕iL および L*⊕iL* に位置する。
• E∂ξ 上の頂点演算子は、時空における複素共役作用素に関して不変である場合にのみ定義可能であり、これは n が偶数のとき、2次元頂点演算子の部分代数で p⁻ = p̄⁺ を満たすものに対応する。
• 理論は、すべての準リーマン面 Q(M) が埋め込める普遍バンドル Q(0) → PB(0) の構築を達成し、分類および関数論のためのグローバルな枠組みを提供する。