[論文レビュー] Quantum Field Theory at Finite Temperature: An Introduction

Jean Zinn‐Justin|ArXiv.org|May 26, 2000

Theoretical and Computational Physics被引用数 48

ひとこと要約

本稿では、非零温度における平衡系を研究するための枠組みとして有限温度量子場理論（QFT）を導入し、(d,1)次元における有限温度QFTとd+1次元における古典的統計場理論との間に双対性を確立する。虚時間形式とモード展開を用いることで、高温において量子効果が無視可能になり、系が有効的にd次元の古典的理論に還元されること——次元削減——を示す。φ⁴理論、非線形σ模型、ゲージ理論などの具体例を通じて説明され、マツバラ周波数の和を用いた1ループ有効作用が導出される。

ABSTRACT

In these notes we review some properties of Statistical Quantum Field Theory at equilibrium, i.e Quantum Field Theory at finite temperature. We explain the relation between finite temperature quantum field theory in (d,1) dimensions and statistical classical field theory in d+1 dimensions. This identification allows to analyze the finite temperature QFT in terms of the renormalization group and the theory of finite size effects of the classical theory. We discuss in particular the limit of high temperature (HT) or the situation of finite temperature phase transitions. There the concept of dimensional reduction plays an essential role. Dimensional reduction in some sense reflects the known property that quantum effects are not important at high temperature. We illustrate these ideas with several standard examples, phi^4 field theory, the non-linear sigma model and the Gross-Neveu model, gauge theories. We construct the corresponding effective reduced theories at one-loop order, using the technique of mode expansion of fields in the imaginary time variable. In models where the field is a vector with N components, the large N expansion provides another specially convenient tool to study dimensional reduction.

研究の動機と目的

• 有限温度量子場理論と高次元における古典的統計場理論との間の概念的・技術的橋渡しを確立すること。
• 虚時間形式とモード展開を用いて、高温における次元削減の発現を、ユークリッド時間方向における解析的考察によって分析すること。
• マツバラ周波数モードを高周波数側で統合することで、φ⁴理論、非線形σ模型、グロス–ネブイ理論、ゲージ理論などのさまざまなモデルの1ループ有効理論を導出すること。
• 高温において量子揺らぎが抑制され、系がd次元の古典的場理論として振る舞うことを示すこと。
• 臨界行動と相転移を理解するために、 renormalization group（RG）および有限サイズスケーリング技法を用いること。

提案手法

• (d,1)次元における有限温度QFTを、長さ1/Tのコンactなユークリッド時間を持つd+1次元における古典的統計場理論に写像する虚時間形式の使用。
• ボソン場が周期的でフェルミオン場が反周期的である虚時間方向におけるモード展開の適用により、離散的なマツバラ周波数が得られる。
• 高周波数モードを統合することで1ループ有効作用を導出し、温度依存の結合定数を持つd次元における有効理論が得られる。
• ゼータ関数正則化とポアソン再まとめを用いてマツバラ和を評価し、有限温度補正を導出する。
• ベクトル模型における大N展開を用いて、次元削減と相転移の解析を簡略化する。
• 非アーベルゲージ理論における群測度技法を用い、不変測度をリー代数のパラメータで表現することで、有限温度における経路積分量論化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (d,1)次元における有限温度QFTとd+1次元における古典的統計場理論との関係は何か？
• RQ2 有限温度QFTにおける次元削減はどのような条件下で発生するのか？また、モード展開とマツバラ形式からどのように導出可能か？
• RQ3 有限温度におけるφ⁴理論、非線形σ模型、グロス–ネブイ模型の1ループ有効作用の構造は何か？
• RQ4 大N展開は、高温におけるベクトル模型の次元削減と相転移の研究をどのように支援するか？
• RQ5 有限サイズ効果とrenormalization group（RG）は、有限温度QFTの臨界行動において果たす役割は何か？

主な発見

• (d,1)次元における有限温度QFTは、長さ1/Tのコンパクトな空間次元を持つd+1次元における古典的統計場理論と等価であり、有限サイズスケーリングおよびrenormalization group（RG）技法の適用が可能になる。
• 高温においては量子効果が抑制され、系は次元削減を示す：力学は有効的に温度依存の結合定数を持つd次元の古典的場理論に還元される。
• φ⁴理論において、マツバラ周波数の和を用いた1ループ有効ポテンシャルが導出され、臨界温度のシフトと量子補正の低減が示される。
• N成分のベクトル場を有する模型では、大N展開により次元削減が確認され、高温における有効d次元理論の体系的導出が可能になる。
• 非アーベルゲージ理論における有効理論は、高周波数モードを統合することで得られ、温度依存の結合定数を持つd次元の古典的ヤン・ミルズ理論に還元される。
• 非アーベルゲージ理論の群測度は、リー代数のパラメータで導出され、構造定数を含む行列微分方程式の解を用いて計量テンソルが表現される。