[論文レビュー] Quantum Field Theory, Feynman and Wheeler Propagators and Dimensional Regularization in Configuration Space

A. Plastino, M. C. Rocca|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ不変な温度分布（STDELI）の全般にわたる次元正則化を、零因子をもつ環 ${\cal S}^{'}_{LA}$ を通じて、逆フーリエ変換による畳み込み積を導入することにより、ミンコフスキー空間内のすべてのローレンツ不変な温度分布へ一般化する。これにより、質量ゼロのフェニマンおよびホイーラー伝播関数の畳み込みを一貫して計算可能とし、ユークリッド的でない相対論的量子場理論の文脈へ拡張する。

ABSTRACT

The Dimensional Regularization of Bollini and Giambiags (Phys. Lett. {\bf B 40}, 566 (1972), Il Nuovo Cim. {\bf B 12}, 20 (1972). Phys. Rev. {\bf D 53}, 5761 (1996)) can not be defined for all Schwartz Tempered Distributions Explicitly Lorentz Invariant (STDELI) ${\cal S}^{'}_L$. In this paper we overcome here such limitation and show that it can be generalized to all aforementioned STDELI and obtain a product in a ring with zero divisors. For this purpose, we resort to a formula obtained in [Int. J. of Theor. Phys. {\bf 43}, 1019 (2004)] and demonstrate the existence of the convolution (in Minkowskian space) of such distributions. This is done by following a procedure similar to that used so as to define a general convolution between the Ultradistributions of J. Sebastiao e Silva [Math. Ann. {\bf 136}, 38 (1958)], also known as Ultrahyperfunctions, obtained by Bollini et al. [Int. J. of Theor. Phys. {\bf 38}, 2315 (1999), {\bf 43}, 1019 (2004), {\bf 43}, 59 (2004),{\bf 46}, 3030 (2007)]. Using the Inverse Fourier Transform we get the ring with zero divisors ${\cal S}^{'}_{LA}$, defined as ${\cal S}^{'}_{LA}={\cal F}^{-1}\{{\cal S}^{'}_L\}$, where ${\cal F}^{-1}$ denotes the Inverse Fourier Transform. In this manner we effect a dimensional regularization in momentum space (the ring ${\cal S}^{'}_{L}$) via convolution, and a product of distributions in the corresponding configuration space (the ring ${\cal S}^{'}_{LA})$. This generalizes the results obtained by Bollini and Giambiagi for Euclidean space in [Phys. Rev. {\bf D 53}, 5761 (1996)]. We provide several examples of the application of our new results in Quantum Field Theory. In particular, the convolution of $n$ massless Feynman propagators and the convolution of n massless Wheeler propagators in Minkowskian space.

研究の動機と目的

• ボリーニとジアムビアジの次元正則化が、すべての明示的にローレンツ不変な温度分布（STDELI）に適用できないという制限を克服すること。
• ミンコフスキー空間におけるSTDELIの一貫した畳み込み演算を定義し、ユークリッド領域を超えた量子場理論振幅の正則化を可能とすること。
• ローレンツ不変分布の逆フーリエ変換を通じて、零因子をもつ環 ${\cal S}^{'}_{LA}$ を構成し、配置空間における分布積を可能とすること。
• ユークリッド空間における次元正則化の先行結果を、特に質量ゼロの伝播関数に対して、ミンコフスキー時空へ一般化すること。

提案手法

• Int. J. Theor. Phys. 43, 1019 (2004) で導出された畳み込み公式を用い、ミンコフスキー空間内でのSTDELIの畳み込みを定義する。
• ボリーニらによって形式化された、ジュリアン・セバスティアン・エ・スィルバの超超関数（超分布）の技術を用いて特異分布を扱う。
• ${\cal S}^{'}_{LA} = {\cal F}^{-1}\{{\cal S}^{'}_L\}$ を定義する。ここで ${\cal S}^{'}_L$ はSTDELIの空間であり、配置空間における分布積を可能にする。
• 運動量空間（${\cal S}^{'}_L$ を通じて）で次元正則化を行い、逆フーリエ変換により結果を配置空間へマッピングする。
• 零因子を許容する枠組みを確立し、代数的構造を保ちつつ、特異な量子場理論分布を扱えるようにする。
• 本手法を用いて、ミンコフスキー時空内での $n$ 個の質量ゼロフェニマンおよびホイーラー伝播関数の畳み込みを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元正則化は、以前の定式化の範囲を超えて、ミンコフスキー空間内のすべての明示的にローレンツ不変な温度分布へ拡張可能か？
• RQ2 標準的なボリーニ＝ジアムビアジ手法では正則化不可能な分布に対して、一貫した畳み込みをどのように定義できるか？
• RQ3 質量ゼロの伝播関数を含む量子場理論振幅の正則化を可能とする、配置空間における積空間の構造は何か？
• RQ4 逆フーリエ変換をどのように用いることで、運動量空間からの正則化を配置空間へマッピングしつつローレンツ不変性を保てるか？
• RQ5 本フレームワークは、特に質量ゼロの場合にフェニマンおよびホイーラー伝播関数を一様に扱えるか？

主な発見

• 本稿は、超超関数の手法に類似した方法を用いて、ミンコフスキー空間内でのSTDELIの畳み込みの存在を確立する。
• ローレンツ不変分布の逆フーリエ変換を通じて、零因子をもつ新しい環 ${\cal S}^{'}_{LA}$ が構成され、配置空間における分布積が可能となる。
• 本手法は、ボリーニとジアムビアジの次元正則化をユークリッドからミンコフスキー時空へ一般化し、すべてのSTDELIをカバーする。
• ミンコフスキー空間内での $n$ 個の質量ゼロフェニマン伝播関数の畳み込みは、新規フレームワーク内において厳密に定義され、計算可能である。
• ミンコフスキー空間内での $n$ 個の質量ゼロホイーラー伝播関数の畳み込みも一貫して定義され、次元正則化の適用範囲が高度な伝播関数タイプへ拡張される。
• 本フレームワークは、実時空における特異的・質量ゼロの伝播関数を含む量子場理論振幅に対して、一貫性がありローレンツ不変な正則化手順を提供する。