[論文レビュー] Quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field in 1+1-dimensional space-time as a test for the massless Thirring model

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|Jun 27, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、コールマングの定理と1+1次元量子場の理論におけるゴールドストーンボソンの存在との間にある矛盾を解消する。それは、質量ゼロの（擬）スカラー場の自由量子場理論—質量ゼロのシリング模型からボソン化されたもの—が、Wightmanの観測量を $σ_0(\mathbb{R}^2)$ 内の試験関数に制限することで、良好に定義可能であることを示している。この選択により、赤外発散が除去され、自発的対称性の破れが保存され、非ゼロの自発的磁化が可能となり、公理的場理論、カレント代数、経路積分の各アプローチが一致する。

ABSTRACT

We analyse different approaches to the description of the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field defined in 1+1-dimensional space-time which describes the bosonized version of the massless Thirring model. These are (i) axiomatic quantum field theory, (ii) current algebra and (iii) path-integral. We show that the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field defined on the class of Schwartz's test functions S_0(R^2) connects all these approaches. This quantum field theory is well-defined within the framework of Wightman's axioms and Wightman's positive definiteness condition. The physical meaning of the definition of Wightman's observables on the class of test functions from S_0(R^2) instead of S(R^2), as required by Wightman's axioms, is the irrelevance of the collective zero-mode related to the collective motion of the ``center of mass'' of the free massless (pseudo)scalar field, which can be deleted from the intermediate states of correlation functions (Eur. Phys. J. C 24, 653 (2002)). In such a theory the continuous symmetry, induced by shifts of the massless (pseudo)scalar field, is spontaneously broken and there is a non-vanishing spontaneous magnetization. The obtained results are discussed in connection with Coleman's theorem asserting the absence of Goldstone bosons and spontaneously broken continuous symmetry in quantum field theories defined in 1+1-dimensional space-time.

研究の動機と目的

• 1+1次元量子場理論におけるコールマングの定理とゴールドストーンボソンの存在との間にある明らかな矛盾を解消すること。
• Wightmanの観測量が $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ 内の試験関数に制限されるとき、自由質量ゼロ（擬）スカラー場の量子場理論が良好に定義可能であることを示すこと。
• 質量ゼロのシリング模型およびそのボソン化版の文脈において、公理的場理論、カレント代数、経路積分の各アプローチを調和させること。
• ゼロモードを除いた状況において、質量ゼロのゴールドストーンボソンが存在しないにもかかわらず、自発的対称性の破れと非ゼロの自発的磁化が一貫していることを示すこと。

提案手法

• 試験関数が $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ に属する場合、すなわち $\tilde{h}(0) = 0$ を満たす場合に、Wightmanの公理と正定値性条件の形式的解析。
• 運動量空間におけるWightman関数 $D^{(+)}(x-y;\mu)$ の評価により、$\tilde{h}(0) = 0$ のとき赤外発散が消えることを示す。
• 光円錐座標 $k_+, k_-$ を用いて、ノルム $||h||^2$ を $k_+$ に関する積分として表現し、$\tilde{h}(k_+,0) = 0$ のとき有限になることを示す。
• 中間状態の相関関数における解析にコーシー＝シュバルツの不等式を適用し、物理的時間発展に影響を与えないままゼロモード寄与を除去できることを示す。
• 公理的QFT、カレント代数、経路積分の各手法の結果を比較し、$\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ に制限した場合に一貫性があることを示す。
• 質量ゼロのシリング模型のボソン化版が、非ゼロのフェルミオン凝集体を有するチャーミカル対称性の自発的破れを示し、これと関連して自発的磁化 $\mathcal{M} = 1$ が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元における自由質量ゼロ（擬）スカラー場理論は、赤外発散があるにもかかわらず、Wightmanの公理に基づいて一貫して定義可能だろうか？
• RQ2 試験関数 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ を用いてゼロモードを除外することで、コールマングの定理と自発的対称性の破れの間の矛盾は解消されるだろうか？
• RQ3 赤外発散が除去された場合、公理的場理論、カレント代数、経路積分の各手法が、質量ゼロのシリング模型のボソン化版においてどのように調和するだろうか？
• RQ4 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^2)$ ではなく $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ に観測量を定義することの物理的意味は何か？
• RQ5 1+1次元においてゴールドストーンボソンが存在しない状況でも、自発的磁化 $\mathcal{M} = 1$ は許容可能だろうか？

主な発見

• 観測量が $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ に制限されるとき、自由質量ゼロ（擬）スカラー場の量子場理論はWightmanの公理に従って良好に定義可能であり、ノルム $||h||^2$ の赤外発散が $\tilde{h}(0) = 0$ のために消えるためである。
• $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ を用いる物理的解釈は、重心運動に関連する集団的ゼロモードが無視可能であり、相関関数の中間状態から除外可能であるということである。
• 連続的シフト対称性 $\vartheta(x) \to \vartheta(x) + \alpha$ の自発的破れが発生し、非ゼロの自発的磁化 $\mathcal{M} = 1$ が生じる。
• この理論は $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ においてWightmanの正定値性条件を満たしており、これによりWightmanが1+1次元にこのような場が存在しないと結論づけた不一致が解消される。
• ゼロモードが除外されると、コールマングのゴールドストーンボソンに対する反論は成立しなくなり、これは $\tilde{h}(0) \neq 0$ を仮定していることに依存しているが、$\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^2)$ ではこの仮定が破られる。
• チャーミカル対称性が破れた領域における質量ゼロのシリング模型のボソン化版は、この理論によって一貫して記述可能であり、$\mathcal{M} = 1$ に起因する非ゼロのフェルミオン凝集体が生じる。