[論文レビュー] Quantum Field Theory on Curved Backgrounds. II. Spacetime Symmetries

Arthur Jaffe, Gordon Ritter|ArXiv.org|Mar 31, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、静的曲がった時空上のスカラー量子場理論に対して、ユークリッドからローレンツ型に解析接続することで関手的量子化手順を確立する。自己随伴等距変換生成子をユークリッドからローレンツ型に解析接続し、等距変換群のユニタリ表現を構成する。主な結果は、$\mathrm{AdS}_{d+1}$ における物理的ヒルベルト空間上に $\mathrm{SO}(d,2)$ の恒等成分のユニタリ表現を、自由理論および相互作用理論の両方で得られることで、カルタン分解とオスターワルダー＝シュライダー正値性を用いる。

ABSTRACT

We study space-time symmetries in scalar quantum field theory (including interacting theories) on static space-times. We first consider Euclidean quantum field theory on a static Riemannian manifold, and show that the isometry group is generated by one-parameter subgroups which have either self-adjoint or unitary quantizations. We analytically continue the self-adjoint semigroups to one-parameter unitary groups, and thus construct a unitary representation of the isometry group of the associated Lorentzian manifold. The method is illustrated for the example of hyperbolic space, whose Lorentzian continuation is Anti-de Sitter space.

研究の動機と目的

• オスターワルダー＝シュライダー量子化を、厳密に実時間理論への解析接続を扱うことによって、静的曲がった時空へ拡張すること。
• ユークリッド側の自己随伴生成子から、ローレンツ型時空の等距変換群のユニタリ表現を構成すること。
• 非コンパクトなリー群として現れる静的ローレンツ型多様体の等距変換群に対して、非自明なユニタリ表現をもたらす関手的量子化手順を提供すること。
• 基礎となるヒルベルト空間を変更せずに、時空等距変換を保存する相互作用理論へこの構成を一般化すること。

提案手法

• リーマン多様体上に、共分散 $ C = (-\Delta + m^2)^{-1} $ を持つガウス測度を用いてユークリッド量子場理論を定義し、Gelfandの三重対 $ \mathcal{S} \subset \mathcal{H}_{-1} \subset \mathcal{S}' $ の存在を保証する。
• リーマン多様体の等距変換を計量を保存する微分同相写像として特定し、テスト関数の引き戻しを用いて、場代数内の多項式関数への作用 $ \Gamma(\psi) $ を定義する。
• 等距変換のリー代数 $ \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_+ \oplus \mathfrak{g}_- $ のカルタン分解を用い、$ \mathfrak{g}_+ $ が $ \Omega_+ $ 上の流れを生成し、$ \mathfrak{g}_- $ がウィング型領域上の流れを生成することを示す。
• 自己随伴半群が $ \mathfrak{g}_+ $ によって生成されることを用い、その解析接続によりユニタリ1パラメータ群を構成し、物理的ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ 上でのユニタリ性を保証する。
• 得られた演算子がローレンツ型等距変換代数の交換関係を満たすことを検証する。たとえば $[\eta, \zeta] = \zeta $, $[\eta, \partial_t] = -\partial_t $, $[\zeta, \partial_t] = -2\eta $ であり、$ \mathfrak{so}(d,2) $ 代数が確認される。
• 双曲空間 $ \mathbb{H}^d $ にこの構成を適用すると、そのローレンツ型継続は $ \mathrm{AdS}_{d+1} $ を与え、$ \mathrm{SO}^0(d,2) $ のユニタリ表現が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ型時空の等距変換群のユニタリ表現を、その静的リーマン多様体上のユークリッド量子場理論から構成することは可能か？
• RQ2 グローバルな時間並進対称性が存在しない状況で、ユークリッドからローレンツ型への解析接続をどのように厳密に行えるか？
• RQ3 カルタン分解が、得られる量子表現のユニタリ性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 この構成は、時空等距変換を保存する相互作用理論へ拡張可能か？また、ヒルベルト空間の構造を変更せずに可能か？
• RQ5 ユークリッド設定におけるリーハー＝シュライダー性質が、量子理論の稠密な定義域の存在を支援するものであり、曲がった背景へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、$\mathrm{AdS}_{d+1}$ 上の量子場理論における物理的ヒルベルト空間上に、自由理論および相互作用理論の両方で対称性を保存する $\mathrm{SO}(d,2)$ の恒等成分のユニタリ表現を構成する。
• この構成は、カルタン分解の正部分 $ \mathfrak{g}_+ $ によって生成される自己随伴半群の解析接続に依拠し、ユニタリ1パラメータ群に拡張する。
• この方法はリーハー＝シュライダー性に依存せず、時空が実解析的でなくても適用可能であり、より広いクラスの静的曲がった時空に適用可能である。
• 双曲空間 $ \mathbb{H}^d $ に対して、ローレンツ型継続により $ \mathrm{AdS}_{d+1} $ が得られ、等距変換代数 $ \mathfrak{so}(d,2) $ が交換関係 $[\eta, \zeta] = \zeta $, $[\eta, \partial_t] = -\partial_t $, $[\zeta, \partial_t] = -2\eta $ を通じて実現される。
• この手続きにより、静的ローレンツ型時空の等距変換群にユニタリ表現を割り当てる関手的量子化写像が得られ、特に $ \mathrm{SO}^0(d,2} $ のような非コンパクトな半単純リー群に特に有用である。