[論文レビュー] Quantum Field Theory on Noncommutative Space-Times and the Persistence of Ultraviolet Divergences

Масуд Чайчиан, Andrey Demichev+1 more|ArXiv.org|Dec 20, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は非可換時空における量子場理論を調査し、標準的なヘイゼンベルク型の交換関係を有する平坦で非コンパactsな非可換平面、または E_q(2)-対称な量子平面においても紫外発散が依然として存在することを示している。一方、非可換シリンダー上では紫外有限性が達成され、時空の位相、特にコンパクト性が理論の紫外行動を決定することが明らかになった。

ABSTRACT

We study properties of a scalar quantum field theory on two-dimensional noncommutative space-times. Contrary to the common belief that noncommutativity of space-time would be a key to remove the ultraviolet divergences, we show that field theories on a noncommutative plane with the most natural Heisenberg-like commutation relations among coordinates or even on a noncommutative quantum plane with $E_q(2)$-symmetry have ultraviolet divergences, while the theory on a noncommutative cylinder is ultraviolet finite. Thus, ultraviolet behaviour of a field theory on noncommutative spaces is sensitive to the topology of the space-time, namely to its compactness. We present general arguments for the case of higher space-time dimensions and as well discuss the symmetry transformations of physical states on noncommutative space-times.

研究の動機と目的

• 非可換時空が量子場理論における紫外発散を自然に解消するかどうかを検討すること。
• 非可換幾何における場の理論の紫外有限性を決定する時空位相の役割を分析すること。
• ヘイゼンベルク型の交換関係や E_q(2)-対称性といった異なる非可換対称性が紫外行動に与える影響を調査すること。
• 特にコンパクト性に関連して、非可換場理論が有限または発散する条件を明確にすること。
• 非可換時空における物理状態の対称性変換とその物理的意味を検討すること。

提案手法

• 時空座標間の標準的ヘイゼンベルク型交換関係を用いて、2次元非可換時空におけるスカラー量子場理論を定式化する。
• 非可換平面における E_q(2)-対称性（ユークリッド群の量子変形）を有する理論を分析する。
• 平面のコンパクト化版として非可換シリンダーを考案し、異なる位相における紫外行動を比較する。
• フェ Feynman 図の摂動的解析を実施し、紫外発散の有無を評価する。
• 一般的議論を用いて、高次元時空への結果の拡張を試みる。
• 非可換時空の対称性変換における物理状態の変換性質を検討し、整合性および物理的解釈を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空は、量子場理論における紫外発散を本質的に除去するのか？
• RQ2 非可換時空の位相、特にコンパクト性は、場理論の紫外有限性にどのように影響するのか？
• RQ3 標準的ヘイゼンベルク型交換関係を有する非可換平面におけるスカラー場理論に紫外発散が存在するか？
• RQ4 E_q(2)-対称性を有する非可換量子平面は、紫外有限な場理論を支持できるか？
• RQ5 対称性変換は、非可換場理論における物理状態の特徴づけにどのような役割を果たすか？

主な発見

• 標準的ヘイゼンベルク型交換関係を有する2次元非可換平面におけるスカラー量子場理論では、紫外発散が依然として存在する。
• E_q(2)-対称性を有する非可換量子平面における理論に対しても紫外発散が観測され、この対称性が紫外発散を除去しないことが示された。
• これに対して、非可換シリンダー上のスカラー場理論は紫外有限であることが判明し、時空のコンパクト性が極めて重要であることが明らかになった。
• 非コンパクトな非可換平面における紫外発散の持続は、非可換性そのものが紫外問題を解消するという一般的な信念に反する。
• 非可換シリンダー上での紫外有限性は、高運動量モードを抑制する位相的制約、つまりコンパクト性に起因する。
• 一般的議論により、非可換空間上の場理論の紫外行動は、本質的に基盤となる時空多様体のグローバル位相に敏感であることが示唆された。