[論文レビュー] Quantum field theory without divergence: the method of the interaction operators

Bruno Galvan|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標準的手法で一般的に生じる発散を避けるために、対称的相互作用演算子を用いて相互作用セクター間の粒子相互作用を定義することで、紫外線有限な量子場理論を構築する新しい手法を提案する。$ \|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ のような特異的演算子を対称化することで、相互作用演算子と自由ハミルトニアンが共通の稠密な定義域を持つことが保証され、数学的に整合的で自己共役な全ハミルトニアンが構成可能となり、紫外線発散が生じない。

ABSTRACT

The recently proposed interior boundary conditions approach [S. Teufel and R. Tumulka: Avoiding Ultraviolet Divergence by Means of Interior Boundary Conditions, arXiv:1506.00497] is a method for defining Hamiltonians without UV divergence for quantum field theories. In this approach the interactions between sectors of the Fock space with different number of particles (inter-sector interactions) are obtained by extending the domain of the free Hamiltonian to include functions with singularities. In this paper a similar but alternative strategy is proposed, in which the inter-sector interactions are implemented by specific interaction operators. In its simplest form, an interaction operator is obtained by symmetrizing the asymmetric operator $\|\hat{ extbf{x}} \|^{-1} Δ\|\hat { extbf{x}}\|^{-1}$. The inter-sector interactions derive from the singularities generated by the factors $\|\hat{ extbf{x}}\|^{-1}$ enclosing the Laplacian, while the domain of the interaction operator does not include singular functions. As a consequence the interaction operators and the free Hamiltonian have a common dense domain, and they can be added together to form the complete Hamiltonian with interaction.

研究の動機と目的

• 紫外線有限な量子場理論を構築するための、内部境界条件（IBC）手法に依存しない数学的に整合的な代替手法を開発すること。
• 生成演算子のアンバランスと特異的相互作用に起因する量子場理論における紫外線発散の問題を解決すること。
• 特異的関数を定義域に含まない対称的相互作用演算子を用いて、粒子数が異なるフォック空間セクター間の相互作用を定義すること。
• 相互作用演算子と自由ハミルトニアンが共通の稠密な定義域を持つように保証し、それらの和が適切に定義された全ハミルトニアンを形成できることを確立すること。
• 演算子の対称化とセクター間結合に基づく新形式を用いて、物理的に意味のある発散のない量子場理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 中心的な手法は、$\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ のような非対称な演算子を対称化し、特異的関数を含まない定義域を持つ対称的相互作用演算子を構築すること。
• 特異的関数を含まない、原点を除いて滑らかでコンパクトな台を持つ波動関数の稠密な定義域上で相互作用演算子を定義する。
• 粒子数が異なるフォック空間セクター間の遷移を、自己共役性を保つように設計されたこれらの対称的相互作用演算子を用いて実装する。
• ラジアル射影演算子 $R$ を用いて s 波成分を分離し、ラプラシアンをラジアル二階微分 $\partial_r^2/r^2$ に簡略化し、特異的挙動を捉える。
• 対称化手順により、交換子 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$ を通じてセクター間境界条件を導入し、セクター間遷移振幅を符号化する。
• 多体系では、粒子の放出/吸収を記述する演算子 $B_{hk}$ と、ペア生成/消滅を記述する $C_{hk}$ を定義し、それらに対称化されたラプラシアン項を組み合わせることで一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部境界条件（IBC）手法に依存せず、自己共役性とユニタリティを保ったまま、紫外線有限な量子場理論を構築できるか？
• RQ2 特異的関数を定義域に含まない対称的演算子を用いて、粒子数が異なるフォック空間セクター間の相互作用をどのように定義できるか？
• RQ3 特異的に見える演算子 $\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ を対称化することで、自由ハミルトニアンと共通の稠密な定義域を持つ適切に定義された自己共役ハミルトニアンが得られるか？
• RQ4 このような相互作用演算子によって生成されるセクター間遷移振幅の構造は何か？また、放出/吸収やペア生成といった物理的過程とどのように関係するか？
• RQ5 提案手法は数学的に整合的であり、現実の量子場理論にとって物理的に意味のある可能性を有するか？

主な発見

• 相互作用演算子 $\Lambda = \|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$ は自然な定義域上で対称ではないが、その対称化された形 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$ は非ゼロのセクター間遷移振幅を生成する。
• 対称化された交換子 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$ は、$\phi'_{00}(0)\psi_{00}(0) - \phi_{00}(0)\psi'_{00}(0)$ に比例する境界項を生成し、これがセクター間結合を符号化する。
• フェルミオン、反フェルミオン、ボソンの3種類の粒子系に対して、ボソンの放出/吸収および電子-陽電子ペア生成/消滅を記述する相互作用演算子を定義する。
• ペア生成のためのセクター間遷移振幅は、対称化されたラプラシアン項 $\langle \phi_h | \stackrel{\leftrightarrow}{\Delta} | \psi_k \rangle_x(y)$ から得られ、$4\pi \frac{\phi^*(y,\mathbf{y}_k)\psi(y,\mathbf{y}_k) - \phi^*(y,\mathbf{y}_h)\psi(y,\mathbf{y}_h)}{\|\mathbf{y}_h - \mathbf{y}_k\|}$ に評価される。
• 全セクター間交換子 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{V_{hk}^1} | \psi \rangle$ は反対称性により消えるため、多体系への一般化において一貫性が保証される。
• 本手法により、相互作用演算子と自由ハミルトニアンが共通の稠密な定義域を持つことが保証され、それらの和が紫外線発散のない自己共役な全ハミルトニアンを定義可能となる。