[論文レビュー] Quantum Fields as Operator Valued Distributions and Causality

Pierre Ca Grange, E. Werner|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、量子場の理論（QFT）を、パラメトリック分割関数を用いたテスト関数に基づく演算子値分布（OPVD）として定式化することにより、厳密な枠組みを確立する。これにより、ポアンカレ不変性とローレンツ共変な正則化が保証される。このアプローチは、ポアンカレ交換関係代数を満たしており、エピスタイン＝グラーアー拡張を用いた発散のない有限な正則化手続きを可能にする。因果性やライトフロントQFTへの応用への直接的な影響を有する。

ABSTRACT

Quantum Field Theory with fields as Operator Valued Distributions with adequate test functions, -the basis of Epstein-Glaser approach known now as Causal Perturbation Theory-, is recalled. Its recent revival is due to new developments in understanding its renormalization structure, which was a major and somehow fatal disease to its widespread use in the seventies. In keeping with the usual way of definition of integrals of differential forms, fields are defined through integrals over the whole manifold, which are given an atlas-independent meaning with the help of the partition of unity. Using such partition of unity test functions turns out to be the key to the fulfilment of the Poincaré commutator algebra as well as to provide a direct Lorentz invariant scheme to the Epstein-Glaser extension procedure of singular distributions. These test functions also simplify the analysis of QFT behaviour both in the UV and IR domains, leaving only a finite renormalization at a point related to the arbitrary scale present in the test functions. Some well known UV and IR cases are examplified. Finally the possible implementation of Epstein-Glaser approach in light-front field theory is discussed, focussing on the intrinsic non-pertubative character of the initial light-cone interaction Hamiltonian and on the expected benefits of a divergence-free procedure with only finite RG-analysis on physical observables in the end.

研究の動機と目的

• パラメトリック分割関数から導かれるテスト関数を用いた演算子値分布（OPVD）による量子場の理論の再定式化を目的とする。
• 正則化構造とローレンツ不変性に関する長年の因果的摂動理論（CPT）の問題を解決することを目的とする。
• ポアンカレ交換関係代数が、テスト関数がパラメトリック分割関数として選ばれた場合にのみ満たされることを示すこと。
• エピスタイン＝グラーアー拡張手順に対して、発散のないローレンツ不変な枠組みを提供すること。
• エピスタイン＝グラーアー法をライトフロント量子場の理論（LFQFT）に応用する可能性を検討し、非摂動的かつ有限な正則化特性を強調すること。

提案手法

• テスト関数がパラメトリック分割関数から得られることにより、時空における積分を介した演算子値分布としての場の定義がなされ、アトラスに依存しない、グローバルに定義されたQFT構成が保証される。
• エピスタイン＝グラーアー時間順序積は、スイッチングテスト関数の因果的条件に基づいて構築され、S行列の因数分解を保証し、同一時刻における特異性を回避する。
• 特異分布は重み付きテイラー級数の手術によって拡張され、運動量空間における減算法と同等であり、BPHZが特殊ケースとして含まれる。
• テスト関数が原点ですべての導関数を零とすることで、ローレンツ不変性が維持され、一貫したテイラー級数の手術が可能になる。
• 高エネルギー・低エネルギーの分析が簡素化され、正則化がテスト関数の任意のスケールに依存しない、有限でスケール依存のシフトに還元される。
• この枠組みはライトフロントQFTに適用され、初期の相互作用ハミルトニアンが本質的に非摂動的であり、物理的観測量の有限な正則化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメトリック分割関数のテスト関数を用いた演算子値分布としての量子場を、グローバルな整合性とポアンカレ不変性を保証するために厳密に定義できるか？
• RQ2 テスト関数がパラメトリック分割関数に制限された場合、エピスタイン＝グラーアー拡張手順はローレンツ不変性を保つのか？
• RQ3 パラメトリック分割関数のテスト関数の使用は、スカラー場理論におけるポアンカレ交換関係代数の満たし方にどのような影響を与えるか？
• RQ4 この枠組みは、QFTにおけるUVおよびIR分析をどの程度簡素化し、正則化を有限でスケール依存の補正に還元できるか？
• RQ5 エピスタイン＝グラーアー法はライトフロント場の理論に成功裏に適用可能か？因果性を保ちつつ、物理的観測量の有限な正則化を可能にするか？

主な発見

• ポアンカレ交換関係代数は、テスト関数がパラメトリック分割関数として選ばれた場合にのみ満たされる。任意のテスト関数では満たされない。
• パラメトリック分割関数のテスト関数の使用により、微分形式の積分に類似した、グローバルに定義され、アトラスに依存しないQFT構成が保証される。
• テスト関数が原点ですべての導関数を零とすることで、エピスタイン＝グラーアー拡張手順はローレンツ不変性を保ち、一貫したテイラー級数の手術が可能になる。
• UVおよびIRの発散は各段階で排除され、正則化はテスト関数の任意のスケールに依存しない、有限でスケール依存のシフトに還元される。
• S行列構築のための直接的で発散のない、ローレンツ不変な枠組みが提供され、物理的観測量には有限な正則化のみが必要となる。
• このアプローチはライトフロントQFTに適しており、初期の相互作用ハミルトニアンの本質的な非摂動的性質を保ちつつ、観測量の有限な正則化を保証する。