[論文レビュー] Quantum Fisher Information as the Convex Roof of Variance

Sixia Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Quantum Mechanics and Applications被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、混合状態の任意の純粋状態集合において平均分散がQFIに等しくなるように明示的に純粋状態集合を構成することにより、量子フィッシャー情報量（QFI）が観測可能量の分散の凸包であることを厳密に証明する。この結果により、QFIはすべての状態準備において達成可能な最小の平均分散として定式化され、量子メトロロジーにおける根本的な操作的解釈が得られる。

ABSTRACT

Quantum Fisher information places the fundamental limit to the accuracy of estimating an unknown parameter. Here we shall provide the quantum Fisher information an operational meaning: a mixed state can be so prepared that a given observable has the minimal averaged variance, which equals exactly to the quantum Fisher information for estimating an unknown parameter generated by the unitary dynamics with the given observable as Hamiltonian. In particular we shall prove that the quantum Fisher information is the convex roof of the variance, as conjectured by Toth and Petz based on numerical and analytical evidences, by constructing explicitly a pure-state ensemble of the given mixed state in which the averaged variance of a given observable equals to the quantum Fisher information.

研究の動機と目的

• 混合状態の純粋状態集合における最小平均分散として、量子フィッシャー情報量（QFI）の厳密な操作的解釈を確立すること。
• TóthとPetzが提起した、QFIが分散の凸包に等しいという予想を、解析的構成を用いて解決すること。
• 与えられた観測可能量について、混合状態の任意の純粋状態分解におけるQFIが、可能な最小の平均分散であることを示すこと。
• 最小平均分散集合と最大平均分散集合を対比させることで、分散自体がその自身の凹包であることを確認すること。

提案手法

• 密度行列 $ \varrho $ と観測可能量 $ H $ の固有状態および固有値を用いて定義される2つの補助的観測可能量 $ Z_H $ と $ Y_H $ を導入する。
• 行列 $ Y_H $ を対角化するユニタリ行列 $ U $ を用いて、$ \varrho $ の固有状態から純粋状態集合 $ \mathcal{U} = \{ u_k, |U_k\rangle \} $ を構成する。
• 純粋状態 $ |U_k\rangle $ を、$ U_{ka} \sqrt{\lambda_a} $ を重みとして $ \varrho $ の固有状態の正規化された重ね合わせとして定義し、$ \varrho = \sum_k u_k |U_k\rangle\langle U_k| $ を満たすようにする。
• $ U $ から導かれる直交演算子 $ \Gamma_k $ を用いて $ Z_H $ の正確な分解を可能とし、$ \sum_k u_k \langle U_k|H|U_k\rangle^2 = \mathrm{Tr}(Z_H^2) $ を得る。
• この集合における平均分散が $ \sigma_\varrho^\mathcal{U}(H) = \mathrm{Tr}(\varrho H^2) - \mathrm{Tr}(Z_H^2) = I_\varrho(H) $ を満たすことを示し、QFIが分散の凸包であることを証明する。
• 対角成分がゼロになるようにユニタリ変換を施した別の集合 $ \mathcal{V} $ を構成し、標準分散に等しい最大の平均分散を達成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子フィッシャー情報量は、与えられた混合状態のすべての純粋状態集合における最小平均分散として操作的に解釈可能か？
• RQ2 TóthとPetzが提起した予想である、QFIが正確に分散の凸包に等しいか？
• RQ3 最小平均分散集合の一意性を保証する構造的条件は何か？
• RQ4 最小平均分散集合は対称対数微分および量子クラメール・ラオ低限とどのように関係するか？

主な発見

• 量子フィッシャー情報量 $ F_\varrho(H) $ は、混合状態 $ \varrho $ のすべての純粋状態集合における最小平均分散に正確に等しく、$ \min_\phi \sigma_\varrho^\phi(H) = \frac{1}{4}F_\varrho(H) $ が成り立つ。
• 観測可能量 $ H $ の平均分散が量子フィッシャー情報量に等しくなる明示的な純粋状態集合 $ \mathcal{U} $ が構成され、凸包構造の確認がなされた。
• 観測可能量 $ Y_H $ が非縮退である場合、最小平均分散集合は一意である。これは、$ Y_H $ を対角化するユニタリ行列が一意である必要があるからである。
• 標準分散は、別個の集合 $ \mathcal{V} $ を構成することで、自身の凹包であることが示された。この集合では平均分散が最大値 $ \sigma_\varrho(H) $ を達成する。
• 一般のパrameter推定における量子フィッシャー情報量は、古典的フィッシャー情報量と、ハミルトニアン $ H_\theta $ の分散の4倍の凸包に等しい量子的寄与に分解される。
• 構成により $ I_\varrho(H) = \mathrm{Tr}(\varrho H^2) - \mathrm{Tr}(Z_H^2) $ が成り立ち、$ Z_H $ は $ \varrho $ の固有基底を用いて定義され、最小集合では $ \mathrm{Tr}(Z_H^2) = \sum_k u_k \langle U_k|H|U_k\rangle^2 $ が成り立つことが確認された。