[論文レビュー] Quantum Fisher kernel for mitigating the vanishing similarity issue

Yudai Suzuki, Hideaki Kawaguchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、反対称対数微分（ALD）を交互層アーキテクチャ（ALA）で活用することで、量子状態のfidelityに基づくカーネルがqubit数の増加に伴い判別力が消失する問題（vanishing similarity問題）を軽減する、新しい量子カーネル手法である量子フィッシャー・カーネル（QFK）を提案する。ALDQFKは、fidelityベースのカーネルと同等の表現力を持つ一方で、カーネル値の指数的減衰を回避し、機械学習における実用的量子優位性を可能にする。

ABSTRACT

Quantum kernel method is a machine learning model exploiting quantum computers to calculate the quantum kernels (QKs) that measure the similarity between data. Despite the potential quantum advantage of the method, the commonly used fidelity-based QK suffers from a detrimental issue, which we call the vanishing similarity issue; detecting the difference between data becomes hard with the increase of the number of qubits, due to the exponential decrease of the expectation and the variance of the QK. This implies the need to design QKs alternative to the fidelity-based one. In this work, we propose a new class of QKs called the quantum Fisher kernels (QFKs) that take into account the geometric structure of the data source. We analytically and numerically demonstrate that the QFK based on the anti-symmetric logarithmic derivatives (ALDQFK) can avoid the issue when the alternating layered ansatzs (ALAs) are used, while the fidelity-based QK cannot even with the ALAs. Moreover, the Fourier analysis numerically elucidates that the ALDQFK can have expressivity comparable to that of the fidelity-based QK. These results indicate that the QFK paves the way for practical applications of quantum machine learning with possible quantum advantages.

研究の動機と目的

• fidelityベースの量子カーネルにおけるvanishing similarity問題を解決する。この問題は、qubit数の増加に伴いカーネル値が指数的に減少し、量子優位性が損なわれる。
• データソースの幾何構造を組み込むことで、安定性と一般化性能を向上させる量子カーネル設計を開発する。
• 古典的フィッシャー・カーネルの量子拡張として、量子フィッシャー・カーネル（QFK）を提案し、データ構造をカーネル計算に埋め込む。
• ALAを用いたALDQFKが、fidelityベースのカーネルが失敗するvanishing similarity問題を回避することを示す。
• Fourier解析と分類ベンチマークを通じて、ALDQFKがfidelityベースのカーネルと同等の表現力を維持することを確立する。

提案手法

• 古典的フィッシャー・カーネルの量子拡張として、量子フィッシャー情報行列を用いてデータ構造を符号化する量子フィッシャー・カーネル（QFK）を導入する。
• 密度行列 ρx,θ の反対称対数微分（ALD）を用いてALDQFKを定義し、Tr[ρx,θ B ρx',θ B] で表される。ここで B = ∂ρx,θ/∂θ である。
• パラメータ化された量子回路における構造的安定性を確保するため、ALDQFKを交互層アーキテクチャ（ALA）で実装する。
• QKを周波数成分に分解するためのFourier解析を適用し、ALDQFKとfidelityベースのQKの表現力の比較を可能にする。
• 合成的一次元データセットを用いてサポートベクターマシン（SVC）を適用し、分類性能を評価し、カーネルの表現力を検証する。
• Fourier周波数集合を {−12,…,12} に切り詰め、曲線フィッティングアルゴリズムを用いてQKをそのFourier表現に適合させ、定量的比較を実施する。

Figure 1: Summary of this work. (a) The vanishing similarity issue for the fidelity-based QK, where the expectation and the variance of the QK decrease exponentially as the number of qubits is increased. Hence, estimating each entry of the Gram matrix on a real quantum device requires an exponential

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データソースの幾何構造を組み込む量子カーネル設計は、高次元ヒルバート空間におけるvanishing similarity問題を回避できるか？
• RQ2 fidelityベースの量子カーネルが指数的減衰を回避するにもかかわらず、ALAを用いたALDQFKは、表現力が同等に保たれるか？
• RQ3 ALDQFKのFourierスペクトルは、fidelityベースのQKと比較して周波数成分と振幅の点でどのように異なるか？
• RQ4 非自明な周波数成分を必要とする合成データセットにおいて、ALDQFKは低誤分類率を達成できるか？
• RQ5 ALDQFKの構造と、ロシュミットエコー や時系列順序外相関関数といった既知の量子ダイナミクス量との関係は何か？

主な発見

• ALAを用いたALDQFKは、vanishing similarity問題を回避する。これは、qubit数の増加に伴ってカーネル値の期待値と分散が指数的に減少しないことから、fidelityベースのQKとは対照的である。
• ALDQFKは、fidelityベースのQKとほぼ同一の振幅と周波数を持つFourier係数を示しており、表現力が同等であることが示唆される。
• 合成の正弦波ベースのデータセットにおける分類タスクでは、ALDQFKが低誤分類率を達成しており、性能はFourier係数 cω,−ω の振幅と強く相関している。
• 周波数 w=12 のデータセットでは、ALDQFKは非ゼロの cω,−ω 成分を維持しているが、fidelityベースのQKはカーネル値の消失によりほぼゼロの振幅を示す。
• ALDQFKの構造 Tr[ρx,θ B ρx',θ B] は、ロシュミットエコー や時系列順序外相関関数といった量子ダイナミクス測定と同型であるため、量子カオスや情報スクラムブルリングとの深い関係が示唆される。
• ALDQFKは、大規模な量子系に対しても安定したカーネル値と一般化性能を維持できるため、実用的量子優位性を実現可能にする。

Figure 2: The expectation and the variance of the QK in Eq. ( 1 ), where each element of input data $\bm{x}$ and parameters in PQC $\bm{\theta}$ is randomly chosen from the range $[-\pi,\pi)$ . The tensor-product and the IQP-type quantum circuits with depth $L=2$ are used as $U(\bm{x},\bm{\theta})$